Isomorfismo de anillo $\mathbb Z$ a $\mathbb Z \times \mathbb Z$

Question

Debo demostrar que no existe ningún isomorfismo de anillo de $\mathbb Z$ a $\mathbb Z \times \mathbb Z$ .

Nota: ¡Sé cómo serían los posibles homomorfismos de anillo pero necesito encontrar la contadicción adecuada! Por favor, ¡ayuda!

Answer 1

¿Qué es Z*Z? Si esto es $\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}$ entonces no son isomorfas porque $\mathbb{Z}$ no tiene divisores de cero, pero $\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}$ los tiene ( $(1,0)(0,1)=(0,0)$ ).

Answer 2

Aunque ya se ha respondido a la pregunta, permítanme esbozar un procedimiento general para demostrar que dos anillos o, de hecho, dos objetos matemáticos cualesquiera no son isomorfos: Hay que encontrar invariantes . El invariante debe tomar objetos isomorfos a invariantes iguales, o más bien invariantes isomorfos si estos invariantes no son sólo números. Si tenemos en cuenta incluso homomorfismos arbitrarios, estos invariantes se llaman functores . Se puede argumentar que los functores son una de las invenciones más importantes de $20$ matemáticas puras del siglo xx.

Por ejemplo, tenemos el functor que mapea un anillo $R$ a su grupo de unidades $R^*$ . Los anillos isomorfos tienen un grupo isomorfo de unidades. Ahora $\mathbb{Z}^* = \{\pm 1\}$ tiene $2$ elementos, pero $(\mathbb{Z} \times \mathbb{Z})^* = \{(\pm 1, \pm 1), (\pm 1,\mp 1)\}$ tiene cuatro elementos. Por lo tanto, estos grupos no son isomorfos. Por tanto, los anillos $\mathbb{Z}$ y $\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$ no son isomorfas.

He aquí otro functor: Mapea un anillo $R$ a la $R/2R$ . Observe de nuevo que $\mathbb{Z}/(2)$ tiene dos elementos, pero $(\mathbb{Z} \times \mathbb{Z})/(2) = \mathbb{Z}/(2) \times \mathbb{Z}/(2)$ tiene cuatro elementos. En realidad este functor también va de grupos abelianos a grupos abelianos. Se puede utilizar para demostrar que $\mathbb{Z}^n \cong \mathbb{Z}^m$ como grupos abelianos si y sólo si $n=m$ .