¿Se cumple esta desigualdad

Question

Sea $f(x)$ sea una función positiva sobre $[0,\infty)$ tal que $f(x) \leq 100 x^2$ . Quiero atar $f(x) - f(x-1)$ desde arriba. Por supuesto, tenemos $$f(x) - f(x-1) \leq f(x) \leq 100 x^2.$$ Sin embargo, esto no es bueno para mí. Necesito un límite que sea lineal (o, en el peor de los casos, lineal multiplicado por la raíz) en $x$ .

¿Existe una desigualdad de la forma $f(x) - f(x-1) \leq f^\prime (x)=200 x$ ?

Answer 1

Supongamos que $f(x) = 100x^2\sin^2(\pi x/2)$ . Entonces $f(x) = 0$ cuando $x$ es un número entero par y $f(x) = 100x^2$ cuando $x$ es un número entero impar. Así que $f(x)-f(x-1)\ge 100(x-1)^2$ con igualdad cuando $x$ es par.

Answer 2

No existe tal límite. Sea $f(2)=0$ y $f(x)=100x^2$ para otros $x$ . Seguramente $f(3)-f(2)=900\le100x^2$ pero la igualdad se mantiene (¡!).

Answer 3

No existe tal límite. Sea $c$ sea un número real, y sea $$f(x)=\begin{cases} 0&\text{if $x<c$}\\100x^2&\text{if $x\geq c$}.\end{cases}$$ Entonces para $x\in [c,c+1)$ la desigualdad $f(x)-f(x-1)\leq 100x^2$ es el mejor límite posible. Así que no podemos hacer un límite mejor para una función general que satisfaga $f(x)\leq 100x^2$ para todos $x$ .

Answer 4

Para $2^n \le x<2^{n+1}$ , dejemos que $f(x)=100(2^{n})^2$ . Hay un salto enorme desde $f(2^{n+1}-1)$ a $f(2^{n+1})$ . Así que incluso si asumimos que $f$ es no decreciente, podemos tener saltos de tamaño comparable a $100x^2$ . A costa de complicar la descripción, podemos modificar lo anterior $f(x)$ para que sea estrictamente creciente.