Deje $G$ ser un finitely generado grupo y $H$ a un subgrupo de $G$. Si el índice de $H$ $G$ es finito, muestran que $H$ es también finitely generado.
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
ConroyP
Puntos
24021
Aquí está la topológico argumento. El hecho de que $G$ es finitely generado significa que $G=\pi_1(K)$ $K$ un CW-complejo con finito 1-esqueleto. Deje $\widehat{K}$ ser el cubrir el espacio correspondiente a $H$. A continuación,$H=\pi_1(\widehat{K})$, e $\widehat{K}$ también ha finito 1-esqueleto, por lo $H$ es finitely generado.
Sugerencia: Suponga $G$ ha generadores $g_1, \ldots, g_n$. Podemos suponer que el inverso de cada generador es un generador. Ahora vamos a $Ht_1, \ldots, Ht_m$ todos los derechos cosets, con $t_1 = 1$. Para todos los $i,j$,$h_{ij} \in H$$t_i g_j = h_{ij} t_{{k}_{ij}}$, para algunas de las $t_{{k}_{ij}}$. No es difícil demostrar que $H$ es generado por todos los $h_{ij}$.
Daniel Silveira
Puntos
8553
Así, el argumento estándar es la siguiente.
Vamos $$ g \mapsto [g] \qquad (g \in G) $$ una función que es constante en todo el derecho de cosets de $H,$ y requerimos $$ [e]=e. $$
Es fácil ver que $$ u [u]^{-1} \in H, \quad [[u]]=[u], \quad [[u]v]=[uv] \qquad (u,v \in G) \qquad \qquad (*) $$ Ahora vamos a $$ S = \{ [g] : g \G\} $$ y $Y=Y^{-1}$ ser simétrica, la generación de un conjunto de $G.$ Entonces el conjunto $$ \{ s i [sy]^{-1} : s \in S, y \Y\} $$ es un generador de $H$ (un finito , si tanto $S$ $Y$ son finitos $\iff$ el índice de $H$ $G$ es finito y $G$ es finitely generado).
Para suponer que un producto $y_1 \ldots y_r$ $H$ donde $y_k \in Y$ ($k=1,\ldots,r$). Supongamos, por ejemplo el amor de $r=3.$ $$ y_1 y_2 y_3 = y_1 [y_1]^{-1} \cdot [y_1] y_2 [[y_1] y_2]^{-1} \cdot [[y_1] y_2] y_3 [[[y_1] y_2] y_3]^{-1} \qquad \qquad (**) $$ donde en el lado derecho tenemos un producto de elementos de $H$ ( * ), ya que $$ [[[y_1] y_2] y_3]=[y_1 y_2 y_3]=e; $$ el mismo $(*)$ también simplifica el lado derecho de la $(**)$ $$ y_1 [y_1]^{-1} \cdot [y_1] y_2 [y_1 y_2]^{-1} \cdot [y_1 y_2] y_3 [y_1 y_2 y_3]^{-1}=y_1 y_2 y_3 [y_1 y_2 y_3]^{-1}=y_1 y_2 y_3 $$ Ahora la inducción de paso, en general, debe ser fácil.
