Eliminación de $\theta$ de $x=\cos\theta(2-\cos 2\theta)$ y $y=\sin\theta(2-\sin 2\theta)$

Question

Si $$x=2\cos\theta-\cos\theta\cos 2\theta$$ $$y=2\sin\theta-\sin\theta\sin 2\theta$$ encontrar una relación entre $x$ y $y$ (sin incluir $\theta$ ).

Otra eliminación de trigonometría que me tiene perplejo. Un enfoque es expresar como funciones homogéneas,

$$x=3\sin^2\theta \cos\theta+\cos^3\theta$$ $$y=2\sin^3\theta+2\sin\theta\cos^2\theta-2\sin^2\theta\cos \theta$$

y formando combinaciones lineales de $x,y$ encontrar algunos polinomios trigonométricos de tercera potencia eg $(\cos \theta+\sin\theta)^3$ . Pero no estoy encontrando ningún éxito con este problema.

Tenga en cuenta que este problema es de Hobson, Tratado de trigonometría plana 2 ed pg.97 #47. Ligeramente alterado en la forma en que lo pido. Y puede contener un error tipográfico, ver discusión.

Answer 1

Sea $u=\cos\theta$ así que $x=3u-2u^3$ y $y=-2u\pm2\sqrt{1-u^2}+2u^3$ .

Sea $z=x+y$ así que $4(1-u^2)=(y+2u-2u^3)^2=(z-u)^2$ dando $$5u^2-2zu+z^2-4=0\implies5u=z\pm2\sqrt{5-z^2}.$$ Aplica la igualdad cuadrática repetidamente para obtener \begin{align}x&=3u-2u\cdot5^{-1}(2zu-z^2+4)=(3+2\cdot5^{-1}z^2-8\cdot5^{-1})u-4\cdot5^{-1}zu^2\\&=(3+2\cdot5^{-1}z^2-8\cdot5^{-1})u-4\cdot5^{-2}z(2zu-z^2+4)\\&=(3+2\cdot5^{-1}z^2-8\cdot5^{-1}-8\cdot5^{-2}z^2)5^{-1}(z\pm2\sqrt{5-z^2})+4\cdot5^{-2}(z^2-4).\end{align} La simplificación conduce a $$125x=22(x+y)^3-45(x+y)\pm2(35+2(x+y)^2)\sqrt{5-(x+y)^2}.$$

Answer 2

La posibilidad/probabilidad de un error tipográfico en el material de origen (que fue la fuente del problema en Pregunta anterior del OP ), consideremos el sistema $$\begin{align} x &= \cos\theta\, ( 2 - \cos2\theta ) \\ y &= \sin\theta\, ( 2 - \color{red}{\cos2\theta} ) \quad\color{red}{\leftarrow\text{instead of $\sin2\theta$}} \end{align}$$ A partir de aquí, tenemos fácilmente, definiendo $r:=2-\cos2\theta$ , $$\begin{align} x^2+y^2 &= (2-\cos2\theta)^2\phantom{\,\cos2\theta} = r^2 \\ x^2-y^2 &= (2-\cos2\theta)^2\cos2\theta = r^2(2-r) = (x^2+y^2)(2-r) \end{align}$$ de donde $r(x^2+y^2) = x^2+3y^2$ de modo que

$$(x^2+y^2)^3 = ( x^2 + 3y^2 )^2 \tag{$ \estrella $}$$

Alternativamente, si tuviéramos $$\begin{align} x &= \cos\theta\, ( 2 - \color{red}{\sin2\theta} ) \quad\color{red}{\leftarrow\text{instead of $\cos2\theta$}}\\ y &= \sin\theta\, ( 2 - \sin2\theta ) \end{align}$$ entonces, con $r:=2-\sin2\theta$ , $$\begin{align} x^2+y^2 &= (2-\sin2\theta)^2 \phantom{\sin2\theta\,} = r^2\\ 2 x y &= ( 2 - \sin2\theta)^2\sin2\theta = (x^2+y^2)(2-r) \end{align}$$ de donde

$$(x^2 + y^2)^3 = 4 (x^2 - x y + y^2)^2 \tag{$ \star\star $}$$

De los dos, me inclino por $(\star)$ como la corrección de la errata ostensible. En cualquier caso, estas soluciones se ajustan más al espíritu de ejercicios similares en la fuente que las (perfectamente válidas) dadas en otras respuestas a esta pregunta como se ha dicho.

Answer 3

Dado que existe una discusión sobre la posibilidad de erratas en la fuente de la pregunta e inspirada por Respuesta de @Blue aquí hay otro (posible) error de enfoque fijo: [ Nota : Presento esta respuesta porque me preocupaba más la apariencia de la pregunta, no la respuesta :) ]

$$x=\cos\theta-\cos\theta\cos2\theta\tag1$$ $$y=\sin\theta-\sin\theta\sin2\theta\tag2$$

(Observe $x=\color{red}{\not2}\cos\theta-\cos\theta\cos2\theta$ y $y=\color{red}{\not2}\sin\theta-\sin\theta\sin2\theta$ )

Suma de dos ecuaciones, $$x+y=\cos\theta+\sin\theta-\underbrace{(\cos\theta\cos2\theta+\sin\theta\sin2\theta)}_{\cos\theta}=\sin\theta$$

De la primera ecuación obtenemos $$x=\cos\theta(1-\cos2\theta)=2\sin^2\theta\cos\theta$$

Por cuadratura, $$x^2=4\sin^4\theta\cos^2\theta=4\sin^4\theta(1-\sin^2\theta)$$

Sustituyendo el primer resultado, $$x^2=4(x+y)^4(1-(x+y)^2)$$