Isomorfismo específico de $\mathbb{R}^2$ como $\mathbb{R}[X]$ -módulo

Question

Estoy leyendo unos apuntes de álgebra de Keith Conrad, que ofrece el siguiente ejemplo.

Ver $V = \mathbb{R}^2$ como $\mathbb{R}[X]$ -módulo donde $X$ a la matriz $\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ . N $\{e_2, X(e_2)\}$ es una base para $V$ y que $(X^2 - 2X + 1)(e_2) = 0$ .

Por lo tanto, $V \cong \mathbb{R}[X] / (X^2 - 2X + 1)$ .

Mi álgebra lineal está oxidada, así que no veo cómo la última línea sigue exactamente. ¿Alguna ayuda, por favor?

Answer 1

Definir un $\mathbb R$ -transformación lineal $\phi:\mathbb R[X] \rightarrow V$ por

$$\phi(f) = f(T)e_2$$

También se trata de un homomorfismo de $\mathbb R[X]$ -módulos. Es suryectiva, por lo que $\phi$ induce un isomorfismo de $\mathbb R[X]$ -módulos $\mathbb R[X]/I \rightarrow V$ donde $I$ es el núcleo de $\phi$ .

A continuación, debe comprobar que $I = (X^2 - 2X+1)$ .