Para una categoría de fusión $\mathcal{C}$ el grupo Brauer-Picard $\text{BrPic}(\mathcal{C})$ es el grupo de todos los invertibles $\mathcal{C}$ -categorías bimodulares bajo multiplicación $\boxtimes_\mathcal{C}$ .
Que la categoría de fusión $\mathcal{C}$ ser un $G$ -ampliación de la categoría de fusión $\mathcal{D}$ Eso es:
$\mathcal{C} = \bigoplus_{g \in G} \mathcal{C}_g$
$\mathcal{C}_e = \mathcal{D}$
Se muestra en [Etingoff, Nikshych, & Ostrick, Categorías de fusión y teoría de homotopías (arXiv:0909.3140), Thm. 6.1] que $\mathcal{C}_g$ es un invertible $\mathcal{D}$ -para cada $g \in G$ y que $\mathcal{C}_g \boxtimes_\mathcal{D} \mathcal{C}_h \cong \mathcal{C}_{gh}$ como $\mathcal{D}$ -por lo que se define un homomorfismo:
$G \to \text{BrPic}(\mathcal{D})$
$g \mapsto \mathcal{C}_g$
(Además, se ha demostrado que $G$ -extensiones de $\mathcal{D}$ están en correspondencia uno a uno con morfismos de grupos categóricos de 2 $G \to \underline{\underline{\text{BrPic}}}(\mathcal{D})$ en [ditto, Thm 7.7], donde el objetivo es la Brauer-Picard groupoide )
Pregunta: Supongamos que el $G$ -extensión $\mathcal{C}$ es teórica de grupo, es decir, es categóricamente Morita dual a una categoría de fusión apuntada. ¿Qué puede decirse (si es que puede decirse algo) del homomorfismo resultante $G \to \text{BrPic}(\mathcal{D})$ ? ¿O el morfismo resultante de 2 grupos categóricos? ¿Y si restringimos $\mathcal{D}$ para ser señalado?
