¿Cómo puedo demostrar que $a^2 + b^2$ no es un número primo de esta ecuación cuadrática dada?

Question

Dada la ecuación cuadrática $$x^2 + ax + b + 1 = 0$$ Donde a, b son números enteros, y las raíces son números naturales. Demuestra que $a^2 + b^2$ no es un número primo.

¿Qué debo hacer para demostrarlo? ¿Alguien puede darme una pista? Gracias.

Answer 1

Sean las raíces $n$ y $m$ . Por las fórmulas de Vieta tenemos: $$n+m=-a$$ $$nm=b+1$$ Y por lo tanto: $$a^2+b^2=n^2m^2+n^2+m^2+1=(n^2+1)(m^2+1)$$ Si suponemos que el cero no es un número natural (cosa que debemos hacer porque si no el resultado no se sostiene) obtenemos que ambos factores son mayores que uno y por tanto el número es compuesto.

Answer 2

Sean las dos raíces $p$ y $q$ entonces $p + q =-a$ y $pq = b + 1$ .

Ahora $a^2 + b^2 = (p+q)^2 + (pq - 1)^2 = (p^2 + 1)(q^2 + 1)$ y, por tanto, no puede ser primo.

Answer 3

Las dos cosas que me llaman la atención son el teorema de la raíz racional, por lo que las raíces dividen $b+1$ y las fórmulas de Vieta sobre las raíces.