Un isomorfismo $Hom_B(m/m^2, T)\cong Hom_A(m,T).$

Question

Sea $m$ sea un ideal de un anillo $A$ . Establecer $B:=A/m$ . Entonces, $m$ y $m/m^2$ tienen estructuras naturales de $A$ y $B$ respectivamente.

Para cualquier $B$ -T que también tiene una estructura natural de un $A$ -quiero demostrar que $$Hom_B(m/m^2, T)\cong Hom_A(m,T)$$ como grupos abelianos.

Consideremos un homomorfismo de grupos albelianos $H$ : $Hom_B(m/m^2, T)\rightarrow Hom_A(m,T)$ por $H(f)=f\circ \pi$

donde $\pi:$ $A\rightarrow A/m^2$ es la proyección natural.

Puedo demostrar la parte de la inyectividad pero me atasco en la parte de la subjetividad. Entonces, mis preguntas son : ¿Estoy en el buen camino? y ¿cómo demostrarlo?

¿Alguien puede darme alguna pista o referencia al respecto?

Gracias de antemano.

Answer 1

Considere una $A$ -mapa lineal $f:\mathfrak m\to T$ . Desde $T$ es originalmente un $B$ -Esto significa que $\mathfrak m$ actúa de forma trival sobre él, por lo que si $ab\in\mathfrak m^2$ tenemos que $f(ab) = af(b) = 0$ . Es decir $f$ induce un mapa $\bar{f} : \mathfrak m/\mathfrak m^2\to T$ que puede comprobar es $B$ -lineal. Esto define un mapa de grupos abelianos $$F : \hom_A(\mathfrak m,T)\to \hom_B(\mathfrak m/\mathfrak m^2,T)\text { such that } F(f) = \bar{f}.$$

La inversa $G$ viene dada por la precomposición con la proyección $\mathfrak m\to\mathfrak m/\mathfrak m^2$ . Una vez que compruebe que $FG$ y $GF$ son la identidad, no necesitas preocuparte por demostrar la inyectividad o la subjetividad, puesto que ya has demostrado que estas flechas son isomorfismos.