Integral de tipo elíptico con radical anidado

Question

Déjalo:

$$Q(A,Y) = Y^4-2 Y^2+2 A Y \sqrt{1-Y^2}-A^2+1$$

Tengo curiosidad por saber si es posible encontrar una solución de forma cerrada para:

$$I(A)=\int_{Y_1(A)}^{Y_2(A)} \frac{1}{\sqrt{\left(1-Y^2\right) Q(A,Y)}}\,dY\\ = \int_{\sin^{-1}(Y_1(A))}^{\sin^{-1}(Y_2(A))}\frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{3-8 A^2+8 A \sin (2 \theta )+4 \cos (2 \theta )+\cos (4 \theta )}}\,d\theta$$

donde $0 \le A \le \frac{3 \sqrt{3}}{4}$ y $-1\le Y_1(A), Y_2(A) \le 1$ son los ceros reales de $Q(A,Y)$ .

Conozco una re-parametrización que hace que los ceros sean un poco menos desordenados de lo que serían en términos de $A$ . Si fijamos:

$$A(a) = \frac{\sqrt{a^3 (a+2)^3}}{2 (a+1)}$$

con $0 \le a \le 1$ entonces tenemos:

$$Y_{1,2}(a) = \frac{a^2+a\mp (a+2) \sqrt{1-a^2}}{2 (a+1)}$$

No estoy seguro de si hay alguna manera de introducir explícitamente estos ceros conocidos en el integrando, como se podría hacer si $Q(A,Y)$ fuera un polinomio. Tengo la siguiente relación:

$$Q(A,Y)\,Q(-A,Y)\\ = Q(A,Y)\,Q(A,-Y)\\ =\left(Y^4-2 Y^2+2 A Y \sqrt{1-Y^2}-A^2+1\right)\left(Y^4-2 Y^2-2 A Y \sqrt{1-Y^2}-A^2+1\right)\\ = P(A,Y)\,P(A,-Y)$$ donde: $$P(A,Y) = Y^4+2Y^3-2Y+A^2-1\\ P(A(a),Y)= (Y-Y_1(a))\,(Y-Y_2(a))\,\left(Y^2+(a+2)Y+\frac{a (a+2)^2+2}{2 (a+1)}\right)$$

$P(A,Y)$ tiene exactamente los mismos ceros reales que $Q(A,Y)$ pero tiene el signo contrario.

Mathematica no puede evaluar explícitamente la integral definida en ninguna de las dos formas, pero devuelve una integral indefinida para la forma trigonométrica:

$$I(A,\theta) =\\ \frac{4 \sqrt{2} \sqrt{\frac{\left(r_1-r_2\right) \left(r_3-\tan (\theta )\right)}{\left(r_1-r_3\right) \left(r_2-\tan (\theta )\right)}} \left(r_1 \cos (\theta )-\sin (\theta )\right) \left(r_4 \cos (\theta )-\sin (\theta )\right) \times \\F\left(\sin ^{-1}\left(\sqrt{\frac{\left(r_2-r_4\right) \left(r_1-\tan (\theta )\right)}{\left(r_1-r_4\right) \left(r_2-\tan (\theta )\right)}}\right)|\frac{\left(r_2-r_3\right) \left(r_1-r_4\right)}{\left(r_1-r_3\right) \left(r_2-r_4\right)}\right)}{\left(r_1-r_4\right) \sqrt{\frac{\left(r_1-r_2\right) \left(r_2-r_4\right) \left(r_1-\tan (\theta )\right) \left(r_4-\tan (\theta )\right)}{\left(r_1-r_4\right){}^2 \left(r_2-\tan (\theta )\right){}^2}} \sqrt{3-8 A^2+8 A \sin (2 \theta )+4 \cos (2 \theta )+\cos (4 \theta )}}$$

donde el $r_i$ son las raíces de:

$$R(A,Y) = A^2 Y^4 - 2 A Y^3 + 2 A^2 Y^2 - 2 A Y + A^2 -1$$

que para $A=A(a)$ son:

$$ \begin{array}{rcl} r_1 &=& \frac{1-(a+1)^{3/2}\sqrt{1-a}}{a^{3/2} \sqrt{a+2}}\\ &=& \tan(\sin^{-1}(Y_1(a)))\\ r_2 &=& \frac{1+(a+1)^{3/2}\sqrt{1-a}}{a^{3/2} \sqrt{a+2}}\\ & =& \tan(\sin^{-1}(Y_2(a)))\\ r_3 &=& \frac{1-i (a+1) \sqrt{a^2+4 a+3}}{\sqrt{a} (a+2)^{3/2}}\\ r_4 &=& \frac{1+i (a+1) \sqrt{a^2+4 a+3}}{\sqrt{a} (a+2)^{3/2}} \end{array} $$

Esta fórmula no es muy útil en sí misma sin una comprensión más profunda de cómo se obtuvo; un intento ingenuo de obtener la integral definida a partir de ella da resultados imaginarios, probablemente debido a algún problema con los cortes de rama.

Pero sí sugiere que un humano que entendiera la técnica que la produjo podría realizar un proceso similar para obtener una expresión de la integral definida en términos de una integral elíptica.

La motivación aquí es encontrar una expresión de forma cerrada para la función de densidad de probabilidad para el área de un triángulo cuyos vértices se eligen uniformemente al azar del círculo unitario, como se discute en esta pregunta:

Momentos del área de un triángulo aleatorio inscrito en un círculo

Creo que $Prob(A) = \frac{2}{\pi^2} I(A)$ donde $A$ es el área de dicho triángulo. Las integrales numéricas de esta cantidad dan el siguiente gráfico, que llega hasta el infinito en $A=0$ y es finito y distinto de cero para el valor máximo, $A=\frac{3 \sqrt{3}}{4}$ .

Answer 1

Si definimos:

$$\begin{array}{rcl} g(a)&=&a^2(a+2)^2-3\\ k(a)&=&(a+1)^3\sqrt{(1-a)(a+3)}\\ \end{array}$$

entonces, tomando límites de la antiderivada proporcionada por Mathematica en los extremos del intervalo de integración, obtenemos:

$$I_0(a) = \frac{2\sqrt{2}\,(a+1)\,K\left(\frac{2 k(a) i}{g(a) + k(a) i}\right)}{\sqrt{a(a+2)}\,\sqrt{g(a) + k(a) i}}$$

Aquí $K$ es una integral elíptica completa de primer orden, y la convención utilizada es la seguida por Mathematica donde el argumento de $K$ aparece sin cuadrar en la integral definitoria. El parámetro $a$ está relacionado con el parámetro original $A$ mediante la ecuación planteada en la pregunta.

En $g(a)\ge 0$ que se cumple para $a \gt \sqrt{1+\sqrt{3}}-1 \approx 0.652892$ , $I_0(a)$ es de valor real y concuerda con las evaluaciones numéricas de la integral $I(a)$ .

Sin embargo, cuando $g(a)$ pasa por cero, la función $K$ tiene una rama cortada, y $I_0(a)$ salta discontinuamente a una función de valor imaginario.

Este problema puede solucionarse en toda la gama del parámetro $a$ utilizando la continuación analítica de $K$ a través del corte de la rama, escrito como $K'$ que se trata en detalle en la respuesta a esta pregunta en Math StackExchange:

https://math.stackexchange.com/questions/2008090/analytical-continuation-of-complete-elliptic-integral-of-the-first-kind

$$K'(m) = \frac{1}{\sqrt{m}}\left(K\left(\frac{1}{m}\right)+i K\left(1-\frac{1}{m}\right)\right)$$

$K'$ tiene su propio y diferente corte de rama situado en una parte diferente del plano complejo, y el argumento en esta aplicación no lo atraviesa. Así que si definimos:

$$I_1(a) = \frac{2\sqrt{2}\,(a+1)\,K'\left(\frac{2 k(a) i}{g(a) + k(a) i}\right)}{\sqrt{a(a+2)}\,\sqrt{g(a) + k(a) i}}$$

entonces $I_1(a)$ es una función de valor real para $0\lt a \le 1$ y coincide exactamente con las evaluaciones numéricas de la integral original $I(a)$ .

Answer 2

Si el propósito de este cálculo es probar la conjetura de geometría, comparando expansiones en potencias de $A$ o $a$ debería ser eficaz. La integral indefinida puede evaluarse fácilmente en cualquier orden en $A$ pero para la integral definida me encuentro con una dificultad. Tomemos el término de orden cero $A=0=a$ cuando $Y_{1,2}=\pm 1$ , $Q=Y^4-2Y^2+1$ y la integral sobre $Y$ es $$I(0)=\int_{-1}^1\frac{1}{\sqrt{(1-Y^2)(Y^4-2Y^2+1)}}\,dY,$$ que tiene una singularidad no integrable en los puntos finales (el integrando diverge como $(1\pm y)^{-3/2}$ ).

He comprobado que el pequeño- $a$ asintótica de $I(a)$ es de hecho un $1/\sqrt{a}$ divergencia.