El cambio en la pregunta ha roto la bonita simetría de la pregunta en la que $S$ se escogió de la misma distribución.
Ahora ganas si hay al menos un número menor que el tuyo y el mayor número menor que el tuyo es $W$ . La probabilidad de que haya al menos un número menos que el tuyo es $1-(1-S/10)^{N+1}$ y si lo hay, entonces la probabilidad de que el número justo debajo del tuyo sea $W$ es $1/(N+1)$ . Por lo tanto, ahora su probabilidad de ganar es
$$ \frac1{N+1}\left(1-\left(1-\frac S{10}\right)^{N+1}\right)\;. $$
Podemos comprobar que esto se integra en $1/(N+2)$ si volvemos a elegir $S$ de $U(0,10)$ :
$$ \int_0^{10}\frac{\mathrm dS}{10}\frac1{N+1}\left(1-\left(1-\frac S{10}\right)^{N+1}\right)=\frac1{N+1}\left(1-\frac1{N+2}\right)=\frac1{N+2}\;. $$
Esta es la respuesta a la pregunta original, en la que $S$ se escogió de la misma distribución que los otros números.
El juego es simétrico entre los jugadores, por lo que su probabilidad de ganar es $1/(N+1)$ veces la probabilidad de que alguien gane. Alguien gana a menos que $W$ es el mayor de $N+2$ números, con probabilidad $1/(N+2)$ . Por lo tanto, su probabilidad de ganar es
$$ \frac1{N+1}\left(1-\frac1{N+2}\right)=\frac1{N+2}\;. $$
El mismo resultado puede obtenerse con aún menos aritmética cerrando el intervalo cíclicamente y añadiendo un $(N+3)$ -rd número que determina dónde se corta el círculo para formar el intervalo. Todas las clasificaciones del $N+3$ los números son equiprobables. Cualquiera que sea el rango de $W$ ahora hay exactamente uno de los restantes $N+2$ rangos tales que ganas si lo consigues.
