¿Cómo hallar la métrica inversa?

Question

Estoy tratando de encontrar la inversa de la métrica

$$\mathrm ds^2 = \rho^2~\mathrm d\theta^2 -2a\sin^2\theta ~\mathrm dr~d\varphi + 2~\mathrm dr~\mathrm du + \rho^{-2}\left[\left(r^2+a^2\right)^2 -\Delta a^2\sin^2\theta\right]\sin^2\theta~\mathrm d\varphi^2-2a\rho^{-2}\left(2mr-e^2\right)\sin^2\theta~\mathrm d\varphi~\mathrm du-\left[1-\rho^{-2}\left(2mr-e^2\right)\right]~\mathrm du^2$$

La inversa se dio en Estructura global de la familia Kerr de campos gravitatorios como

$$(\partial/\partial s)^2 = \rho^{-2}(\partial/\partial\theta)^2+ 2\rho^{-2}\left(r^2+ a^2\right)(\partial/\partial r)(\partial/\partial u)+ 2\rho^{-2}a(\partial/\partial r)(\partial/\partial\varphi)+ 2\rho^{-2}a(\partial/\partial u)(\partial/\partial \varphi)+ \rho^{-2}\sin^2\theta(\partial/\partial u)^2 + \rho^{-2}\sin^2\theta(\partial/\partial \varphi)^2+ \rho^{-2}\Delta(\partial/\partial r)^2$$

Sé cómo encontrar la inversa de la métrica $g_{\mu\nu}$ pero parecen dar componentes diferentes a los presentados en la métrica inversa. Alguien sabe qué método se utilizó para hallar la inversa?

Answer 1

Es

$g_{ab}g^{bc} = \delta_a^c$

Donde se suman los índices repetidos, y $\delta$ es la función delta de Kronecker

En notación abstracta es $g * g^{-1} = I$