Cómo formar el grafo de Cayley a partir de un grupo

Question

Defina un grafo de Cayley como sigue:

$G$ es un grupo finito. $C \subseteq G$ tal que $C$ no contiene el elemento de identidad de $G$ y $g^{-1} \in C$ para todos $g \in C$ . Grafo de Cayley $X(G,C)$ se forma con los vértices $V(X)=G$ , bordes $E(X)=\{(a,b): a,b \in G, ab^{-1} \in C\}$ .

a. Demostrar que la gráfica $X(C,G)$ está bien definida.

b. Un grafo es transitivo por vértices si $\text{Aut}(X)$ actúa transitivamente sobre los vértices. Demuestre que $X(G,C)$ es vértice transitivo.

Answer 1

No me queda claro qué implica "demostrar que el grafo está bien definido", ya que la definición no implica ningún tipo de acciones o mapas sobre clases de equivalencia. Tal vez quiera que demuestres que si el segmento $(a,b)$ es una arista de $X(G,C)$ entonces también lo es $(b,a)$ o algo así (esto se deduce de la hipótesis sobre $C$ que es cerrado bajo la toma de inversos). Dejaré que un teórico de grafos comente.

Para la parte (b), demuestre que la multiplicación por la derecha por cualquier elemento $g\in G$ induce un automorfismo del grafo en $X(G,C)$ . En primer lugar se trata de una biyección sobre los vértices, y en segundo lugar se quiere demostrar $(a,b)$ es una arista de $X(G,C)$ sólo si $(ag,bg)$ es una arista de $X(G,C)$ para todos $g\in G$ . La utilidad de esto es que el grupo $G$ actúa transitivamente sobre sí mismo por multiplicación (tanto a la izquierda como a la derecha), por lo que para crear un automorfismo de $X(G,C)$ que envía el vértice $a$ al vértice $b$ (aquí con $a,b\in G$ arbitrario), basta con elegir un $g\in G$ tal que $ag=b$ es decir, considerar la multiplicación a la derecha por $a^{-1}b$ .