¿Existe una secuencia de funciones holomorfas uniformemente convergentes a $\bar{z}^3$ en el límite del anillo

Question

¿Existe una secuencia $\{f_n\}$ holomorfa en D(0,2) tal que $f_n\to \bar{z}^3$ uniformemente en $\{|z|=1\}\cup\{|z|=\frac{1}{2}\}$ . Observo que en $\{|z|=1\}$ , $\bar{z}^3=\frac{1}{z^3}$ , $\{|z|=\frac{1}{2}\}$ , $\bar{z}^3=\frac{1}{64z^3}$ la función aparentemente antiholomorfa es en realidad holomorfa en los 2 círculos. El teorema de Runge requiere conectividad en el complemento y por lo tanto no es aplicable.

Gracias.

Answer 1

No. Si tal secuencia existiera, definiría $g_n(z)=z^2f_n(z)$ . Entonces, $(g_n)_{n\in\mathbb N}$ converge uniformemente a $\frac1z$ en $\{z\in\mathbb{C}\,|\,\lvert z\rvert=1\}$ . Consideremos ahora el bucle $\gamma\colon[0,2\pi]\longrightarrow\mathbb C$ definido por $\gamma(t)=e^{it}$ . Entonces $$(\forall n\in\mathbb{N}):\int_\gamma g_n(z)\,\mathrm dz=0,$$ pero $\int_\gamma\frac1z\,\mathrm dz=2\pi i$ .