Distancia entre dos puntos de un sólido de revolución

Question

Sea $f: I \to (0,\infty)$ sea una función suave y positiva. L $$\Sigma_f = \{(x,f(x)\cos\theta,f(x)\sin\theta) : x \in I, \theta \in \Bbb{R}\}$$ sea un sólido de revolución generado rotando la gráfica de $f$ alrededor del $x$ -eje. Determinar la distancia entre $(x,f(x),0)$ y $(y,f(y),0)$ .

No sé cómo enfocar este problema. Mi definición de distancia se toma sobre todas las curvas $C^1$ por partes (el ínfimo de estas longitudes). Tal vez deba minimizar la longitud del arco entre estos puntos. Pero, ¿cómo garantizar que el arco estará contenido en $\Sigma_f$ ?

Answer 1

Tenga en cuenta que ambos puntos están en una sola copia de la curva alrededor de la cual está girando. Cualquiera de esas copias es en sí misma una geodésica, como puedes comprobar observando el vector aceleración si recorres la curva con velocidad constante.