Prueba $1 + \cot^2\theta = \csc^2\theta$

Question

Demuestra la siguiente identidad: $$1 + \cot^2\theta = \csc^2\theta$$

Esta pregunta se hace porque tengo curiosidad por saber las diferentes formas de demostrar esta identidad dependiendo de diferentes caracterizaciones de la cotangente y la cosecante.

Answer 1

Repetimos aquí una idea utilizada en la pregunta Prueba $\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$ pero es ligeramente diferente ya que las funciones $\cot$ y $\csc$ no están definidos en $\mathbb R$ .

Sea $$f(\theta)=\csc^2\theta-\cot^2\theta$$ entonces $f$ se define en $\mathbb R\setminus\{k\pi,\; k\in\mathbb Z\}$ y comprobamos que $f'(\theta)=0$ así que $f$ es constante en cada intervalo $(k\pi,(k+1)\pi)$ y concluimos el resultado a partir de la igualdad $$f\left(k\pi+\frac{\pi}{2}\right)=1$$

Answer 2

Suponiendo que el Primera identidad trigonométrica pitagórica ,

$$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$$ Dividiendo por $\sin^2\theta$ , $$\Rightarrow \frac{\sin^2\theta}{\sin^2\theta} + \frac{\cos^2\theta}{\sin^2\theta} = \frac{1}{\sin^2\theta}$$ $$\Rightarrow \left(\frac{\sin\theta}{\sin\theta}\right)^2 + \left(\frac{\cos\theta}{\sin\theta}\right)^2 = \left(\frac{1}{\sin\theta}\right)^2$$

Desde $\cot\theta = \large \frac{1}{\tan\theta} = \large\frac{\cos\theta}{\sin\theta}$ y $\csc\theta = \large\frac{1}{\sin\theta}$ , $$\Rightarrow 1 + \cot^2\theta = \csc^2\theta .$$

Answer 3

También puedes empezar de izquierda a derecha.

$$ \begin{align*} 1 + \cot^2 \theta & = 1 + \frac{\cos^2 \theta}{\sin^2 \theta} \\ & = \frac{\sin^2 \theta + \cos^2 \theta}{\sin^2 \theta}\\ & = \frac{1}{\sin^2 \theta}\\ & = \csc^2 \theta~. \end{align*} $$

Sólo tienes que ir hacia atrás si quieres probar de derecha a izquierda.

Answer 4

Considere el siguiente diagrama.

El lado terminal de un ángulo $\theta$ en posición estándar interseca el círculo unitario en el punto $(\cos\theta, \sin\theta)$ . Si

$$\theta \neq \frac{\pi}{2} + n\pi, n \in \mathbb{Z}$$

dibujar un segmento perpendicular al lado terminal del ángulo. Como dos ángulos complementarios de un mismo ángulo son congruentes, el ángulo formado por la perpendicular al lado terminal del ángulo $\theta$ en posición estándar y el $y$ -el eje tiene medida $\theta$ . Dado que el ángulo opuesto de la pierna $\theta$ en este triángulo tiene longitud $1$ la hipotenusa tiene longitud $|\csc\theta|$ y el cateto adyacente al ángulo $\theta$ tiene longitud $|\cot\theta|$ . Por el Teorema de Pitágoras,

\begin{align*} 1 + |\cot\theta|^2 & = |\csc\theta|^2\\ 1 + \cot^2\theta & = \csc^2\theta \end{align*}