Cómo mostrar que los cinco puntos en ℝ3 son cospherical?

Question

Hay muchas condiciones equivalentes a la cocircularity de cuatro puntos en un plano, sin embargo, no pude encontrar ninguna de estas listas, para las tres dimensiones analógica. Cuando haces cinco puntos en el espacio tridimensional se encuentran en una esfera?

Condiciones elementales preferido.

Answer 1

Cuando $\begin{vmatrix} x_1^2+y_1^2+z_1^2&x_1&y_1&z_1&1\\ x_2^2+y_2^2+z_2^2&x_2&y_2&z_2&1\\ x_3^2+y_3^2+z_3^2&x_3&y_3&z_3&1\\ x_4^2+y_4^2+z_4^2&x_4&y_4&z_4&1\\ x_5^2+y_5^2+z_5^2&x_5&y_5&z_5&1\\ \end{vmatrix}=0$.

Answer 2

Hasta una circular de la inversión, a prueba de cinco puntos para ser cospherical es el mismo como el análisis de cuatro puntos para ser coplanares. En términos de distancias mutuas, esta tarea se puede lograr mediante el uso de la Cayley-Menger determinante.