El problema consiste en hacer estacionaria la siguiente integral: $$ \int_{x_1}^{x_2} \frac{\sqrt{1+y'^2}}{y^2}dx $$ para simplificar la ecuación de Euler, he intentado cambiar la variable independiente: $$ \int_{y_1}^{y_2} \frac{\sqrt{1+x'^2}}{y^2}dy, \: \: \: \: \: \: \: \: y=y\left( x \right),\: y'=\frac{dy}{dx} $$ con la correspondiente ecuación de Euler: $$ \frac{d}{dy}\frac{\partial F}{\partial x'}-\frac{\partial F}{\partial x}=0 $$ así $$ \begin{aligned} \frac{\partial F}{\partial x}=0 \Rightarrow \frac{\partial F}{\partial x'} &= k\\ \frac{x'}{y^2 \sqrt{1+x^2}} &= k\\ \frac{dx}{dy} = x' &= \frac{ky^2}{\sqrt{1-k^2y^4}} \end{aligned} $$ y me sale: $$ x = \int \frac{ky^2}{\sqrt{1-k^2y^4}} dy $$ Ahora, ¿puedo cambiar $ ky^2 $ a una nueva variabel única arbitraria para simplificar el integrando? ¿O hay un método más eficaz?
Respuestas
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Hazlo, sustituye $u=ky^2,\frac{du}{dy}=2\sqrt{ku}$ (suponiendo $k>0$ ): $$x=\frac1{2\sqrt k}\int\sqrt{\frac u{1-u^2}}\,du$$ Se trata de una integral elíptica. Digamos que estamos integrando desde $0$ a $u$ entonces Byrd y Friedman 235.06 da $$x=\sqrt{\frac2k}\left(E(\varphi,m)-F(\varphi,m)/2-\sqrt{\frac{u(1-u)}{2(1+u)}}\right)+C$$ donde $\sin^2\varphi=\frac{2u}{1+u}$ y $m=1/2$ . Tendrá que utilizar métodos numéricos para obtener $y$ en términos de $x$ .
Como se ha dicho en los comentarios y en la respuesta, utilizando $\frac{u}{\sqrt{k}}$ terminará con $$\int \frac{ky^2}{\sqrt{1-k^2y^4}}\, dy=\frac{E\left(\left.\sin ^{-1}(u)\right|-1\right)-F\left(\left.\sin ^{-1}(u)\right|-1\right)}{\sqrt{k}}$$
Si necesita resolver $u$ la ecuación $$f(u)=E\left(\left.\sin ^{-1}(u)\right|-1\right)-F\left(\left.\sin ^{-1}(u)\right|-1\right)=a$$ puedes utilizar la expansión en serie $$f(u)=\sum_{n=0}^\infty b_n \,u^{4n+3}$$ donde el $b_n$ forman la secuencia $$\left\{\frac{1}{3},\frac{1}{14},\frac{3}{88},\frac{1}{48},\frac{35}{2432},\frac{63}{5 888},\frac{77}{9216},\frac{429}{63488},\frac{1287}{229376},\frac{935}{196608},\cdots\right\}$$ Utilizando los coeficientes anteriores, el ajuste es bastante bueno: el error absoluto es de
- $<0.1$ % si $u \lt 0.921$
- $<0.01$ % si $u \lt 0.874$
- $<0.001$ % si $u \lt 0.829$
Utilización de la reversión en serie $$u=t \left(1-\sum_{n=1}^\infty c_n \,t^{4n} \right)\qquad \text{where} \qquad t=\sqrt[3]{3a}$$ la primera $c_n$ formando la secuencia $$\left\{\frac{1}{14},\frac{15}{4312},\frac{61}{181104},\frac{85325}{2119641216},\frac{ 1214019}{227508157184}\right\}$$
Para un ejemplo de prueba, utilice $a=0.5$ lo anterior daría como resultado estimación $u=0.99010375$ mientras que la solución "exacta" es $u=0.99010360$
