Si $L/K$ es algebraico, es $L$ un subcampo de algún cierre algebraico $\bar K$ de $K$ ?

Question

Sea $L/K$ sea una extensión de campo. Es $L$ un subcampo de algún cierre algebraico $\bar K$ de $K$ ?

Answer 1

Esto es cierto si y sólo si $L/K$ es algebraico.

Una parte es fácil de ver: si $L$ es un subcampo de $\bar{K}$ entonces $L/K$ es algebraico. La dirección no trivial se responde con el Teorema 2.8 del Capítulo V de la obra de Lang Álgebra (3ª edición):

Teorema 2.8. Sea $k$ sea un campo, $E$ una extensión algebraica de $k$ y $\sigma : k \to L$ una incrustación de $k$ en un campo algebraicamente cerrado $L$ . Entonces existe una extensión de $\sigma$ a una incrustación de $E$ en $L$ .

El teorema se demuestra utilizando el lema de Zorn. Consideremos el conjunto de todos los pares $(F,\tau)$ donde $F$ es un subcampo de $E$ que contiene $k$ y $\tau$ es una extensión de $\sigma$ a una incrustación de $F$ en $L$ . Argumentar que se trata de un conjunto parcialmente ordenado no vacío en el que cada cadena tiene un límite superior. Por el lema de Zorn, existe un elemento maximal. Demostrar que si este elemento maximal es digamos $(K,\lambda)$ entonces $K = E$ argumentando por contradicción.

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Un ejemplo fácil para el caso en que $L/K$ no es algebraico y $L$ no se encuentra dentro de un cierre algebraico de $K$ es tomar $K = \mathbb{C}$ y $L = \mathbb{C}(x)$ el campo de funciones racionales sobre $\mathbb{C}$ . Claramente $\mathbb{C}(x)$ no se sienta dentro $\mathbb{C} = \bar{\mathbb{C}}$ .

Answer 2

Tomemos un cierre algebraico $F$ de $L$ . Sostengo que $F$ es un cierre algebraico de $K$ .

De hecho, es algebraicamente cerrada por suposición; si $x\in F$ entonces $x$ es algebraico sobre $L$ y, por tanto, también sobre $K$ .