Como soy muy visual, me gustan las figuras sintéticas.
Una de mis figuras favoritas es conocida como Teorema de los círculos de Monge :
Dadas tres circunferencias que no se intersecan en el caso general (radios diferentes), consideremos las rectas tangentes exteriores de estas circunferencias tomadas de dos en dos. Se intersecan en 3 puntos ; parecen alineadas. ¿Cómo demostrarlo?
Si tiene público, déjele buscar durante un breve espacio de tiempo. A continuación, dales la siguiente pista: "Piensa en 3D". Lo más habitual es que una de las personas del público tenga la idea :
Imaginemos esta "escena" como una "vista aérea" de 3 esferas con los mismos radios que los círculos anteriores, colocadas sobre un suelo plano, al que todas las esferas son tangentes. Pero existe un segundo plano tangente a las 3 esferas (esta es nuestra intuición, pero también puede establecerse rigurosamente (*)). La intersección de este plano con el suelo es "la" línea que buscamos. Si alguien tiene dudas, se puede invocar un argumento convincente suplementario que trata de los 3 "conos de helado" que contienen 2 bolas.
(*) Observación: los centros de las esferas determinan un plano que es el plano medio de los dos planos tangentes.
Editar :
Presentemos ahora el Desargues que tiene una sorprendente similitud con el problema de Monge. Lo explicaré utilizando la notación de la siguiente figura :
Consideremos dos triángulos $ABC$ y $A'B'C'$ que son perspectiva de un cierto punto P, lo que significa que las líneas $AA', \ BB', \ CC'$ se reúnen en este punto. Entonces los puntos de intersección
$$Q:= AB \cap A'B', \ R:= AC \cap A'C', \ S:= BC \cap B'C'$$
están alineados (la inversa es cierta).
¿Cómo se puede establecer esta propiedad? (pregunta al lector)
Respuesta : De la misma manera que antes, esta vez interpretando esta figura como una escena 3D en la que pirámide triangular con base $ABC$ y ápice $P$ está cortado por un plano transversal. Este plano interseca al plano base a lo largo de una línea en la que necesariamente $Q, \ R, \ S$ están situados.
Referencia : esta página de un excelente sitio de geometría. Véase también la fig. 2.9 página 18 de este artículo bien escrito de Bobenko ici .