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Problemas matemáticos (no triviales) que no requieren educación matemática formal

¿Alguien conoce buenos rompecabezas que muestren la naturaleza de las matemáticas a personas con escasos o nulos conocimientos matemáticos? ¿O conoce un libro con este tipo de problemas?

Criterios son que el problema sea interesante, no requiera conocimientos matemáticos y pueda resolverse mediante un principio matemático básico, por ejemplo, una demostración real. Lo ideal es que el problema no requiera cálculos o, al menos, que no sean muy largos.

Ejemplo Elimine dos casillas diagonales de las esquinas de un tablero de ajedrez. ¿Es posible embaldosar el tablero con un número determinado de piedras de dominó? Mira esto pregunta .

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JeanMarie Puntos 196

Como soy muy visual, me gustan las figuras sintéticas.

Una de mis figuras favoritas es conocida como Teorema de los círculos de Monge :

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Dadas tres circunferencias que no se intersecan en el caso general (radios diferentes), consideremos las rectas tangentes exteriores de estas circunferencias tomadas de dos en dos. Se intersecan en 3 puntos ; parecen alineadas. ¿Cómo demostrarlo?

Si tiene público, déjele buscar durante un breve espacio de tiempo. A continuación, dales la siguiente pista: "Piensa en 3D". Lo más habitual es que una de las personas del público tenga la idea :

Imaginemos esta "escena" como una "vista aérea" de 3 esferas con los mismos radios que los círculos anteriores, colocadas sobre un suelo plano, al que todas las esferas son tangentes. Pero existe un segundo plano tangente a las 3 esferas (esta es nuestra intuición, pero también puede establecerse rigurosamente (*)). La intersección de este plano con el suelo es "la" línea que buscamos. Si alguien tiene dudas, se puede invocar un argumento convincente suplementario que trata de los 3 "conos de helado" que contienen 2 bolas.

(*) Observación: los centros de las esferas determinan un plano que es el plano medio de los dos planos tangentes.

Editar :

Presentemos ahora el Desargues que tiene una sorprendente similitud con el problema de Monge. Lo explicaré utilizando la notación de la siguiente figura :

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Consideremos dos triángulos $ABC$ y $A'B'C'$ que son perspectiva de un cierto punto P, lo que significa que las líneas $AA', \ BB', \ CC'$ se reúnen en este punto. Entonces los puntos de intersección

$$Q:= AB \cap A'B', \ R:= AC \cap A'C', \ S:= BC \cap B'C'$$

están alineados (la inversa es cierta).

¿Cómo se puede establecer esta propiedad? (pregunta al lector)

Respuesta : De la misma manera que antes, esta vez interpretando esta figura como una escena 3D en la que pirámide triangular con base $ABC$ y ápice $P$ está cortado por un plano transversal. Este plano interseca al plano base a lo largo de una línea en la que necesariamente $Q, \ R, \ S$ están situados.

Referencia : esta página de un excelente sitio de geometría. Véase también la fig. 2.9 página 18 de este artículo bien escrito de Bobenko ici .

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OxFEEDFACE Puntos 11

Martin Gardner, en la introducción de su libro Entertaining Mathematical Puzzles, escribe lo siguiente:

[....] He hecho he hecho todo lo posible para encontrar rompecabezas inusuales y entretenidos, que sólo requieran los conocimientos conocimientos matemáticos elementales, pero que al mismo tiempo proporcionen niveles superiores del pensamiento matemático. [......]

Por lo tanto, creo que este es el libro que está buscando.

Puede descargar la versión PDF del libro en ici Pero si te gusta el libro, cómpralo.

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Michael Hoppe Puntos 5673

Imagina que todos los puntos del plano son de color rojo o azul. Demostrar que existe un color tal que para cualquier real positivo $a$ existen dos puntos de ese color con distancia $a$ .

Ahora demuestre lo mismo siempre que todos los puntos de $\mathbb R^3$ están coloreados en tres colores.

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