Maximizar la suma de logaritmos sujeta a restricciones

Question

Tengo el problema de optimización

$$\begin{array}{ll} \text{maximize} & \displaystyle\sum_{i=1}^n \log(c_i + x_i)\\ \text{subject to} & \displaystyle\sum_{i=1}^n x_i = 1\\ & x_i\ge0\end{array}$$

donde $c_i>0$ . ¿Cómo podría resolverlo?

Answer 1

Maximizar su función es lo mismo que maximizar su exponencial, es decir: $$\prod_{i=1}^{n}\left(c_i+x_i\right)\stackrel{AM-GM}{\leq}\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(c_i+x_i)\right)^{n} =\frac{1}{n^n}\left(1+\sum_{i=1}^{n}c_i\right)^n.$$ ¿Puedes seguir desde aquí?