Ante todo, demuestre que $T^2 = T$ implica que $V = Null(T) \oplus Im(T)$ (cuando $V$ es de dimensión finita).
(Esto es relativamente fácil de hacer usando las propiedades de contención de espacios nulos e imágenes de potencias de T: Se necesitan 4 hechos para demostrarlo:
$$\{0\} \subseteq Null(T) \subseteq Null(T^2) \subseteq \ ... \ \subseteq Null(T^m) \subseteq \ ... $$
$$ V \supseteq Im(T) \supseteq Im(T^2) \supseteq \ ... \ Im(T^m) \supseteq \ ...$$
También lo necesitarás (para espacios vectoriales complejos de dimensión finita): $V = Null(T^n) \oplus Im(T^n)$ (donde $dim(V) = n$ )
Y que si $Null(T) = Null(T^2)$ entonces $Null(T) = Null(T^m) \ \forall m \geq 2$
Si no conoce estos hechos, hay otra forma de demostrarlo $T^2 = T$ implica $V = Null(T) \oplus Im(T)$ sin estos, pero personalmente me gusta más así.
Para el resto de la prueba:
También sabemos que $Null(T) = (Im(T^*))^\perp$ . Como T es autoadjunto, sabemos que $Im(T^*) = Im(T)$ Por lo tanto $Null(T) = (Im(T))^\perp$
Como sugiere el comentario, considere la posibilidad de $W = Im(T)$ . La afirmación anterior implica $Null(T) = W^\perp$
Entonces, para cualquier $v \in V$ podemos escribir $v = n + w$ donde $n \in Null(T) = W^\perp$ y $w \in ImT = W$ (porque $V = Null(T) \oplus Im(T)$ como debería comprobar)
Desde $w \in Im(T)$ escribe $ w = T(u)$ para algunos $u \in V$ .
Entonces $T(v) = T(n + w) = T(n + T(u)) = T^2(u) = T(u) = w$ .
Esta es exactamente la definición de un mapa de proyección ortogonal sobre W.
