He aquí algunas ideas, pero no estoy seguro de que constituyan el tipo de respuesta que busca:
La respuesta corta es no, no todo espaciotiempo globalmente hiperbólico admite un corte por hipersuperficies de máxima semejanza espacial. No estoy seguro de que se conozcan las condiciones necesarias concretas, cuando este es el caso, pero definitivamente hay algunas condiciones suficientes que usted puede mirar.
En términos más generales, lo que preguntas es un caso particular de una foliación o un corte de un espaciotiempo por hipersuperficies de curvatura media constante (CMC). Si busca "CMC slicing" o "CMC foliation" encontrará que todavía se está investigando mucho en este campo. Esto se debe a que las hipersuperficies CMC crean buenas condiciones iniciales para resolver las ecuaciones de Einstein. No conozco el estado más reciente de la investigación en foliaciones CMC porque fue hace algunos años, cuando trabajé en esa área.
Pero si quiere entrar en ese tema, le sugiero que empiece por este viejo papel de Choquet-Bruhat y siga la cadena de citas hasta llegar a las publicaciones más recientes. Se puede encontrar una descripción más reciente del estado de la investigación en foliaciones CMC y algunos problemas abiertos aquí .
Si no recuerdo mal, hay un ejemplo de Bartnik aquí que es un espaciotiempo globalmente hiperbólico, que no admite ningún corte CMC y, en particular, tampoco ninguna foliación de curvatura media cero.
Si se busca una condición suficiente sencilla para que un espaciotiempo admita una foliación de curvatura media cero por hipersuperficies espaciales semejantes, se puede considerar la existencia de un campo vectorial de Killing completo, irrotacional y semejante al tiempo. Un espaciotiempo que admite tal campo vectorial de Killing es estático estándar y se divide como $(N = \mathbb{R}\times M,g)$ con $$ g = -\beta(x)\mathrm{d}t^2 + h, $$ donde $\beta>0$ es una función sobre $M$ y $h$ es una métrica de Riemann sobre $M$ . Puede comprobar fácilmente que todas las rodajas $\{t\}\times M$ en $N$ son hipersuperficies espaciales de curvatura media cero. No sé si esta condición es también necesaria para la existencia de una foliación de curvatura media nula.
En las referencias anteriores hay algunas otras condiciones de la cosmología que la gente suele considerar para los espaciotiempos que admiten foliaciones CMC.
