En el análisis dimensional, ¿por qué la constante adimensional suele ser de orden 1?

Question

Normalmente, en todas las discusiones y argumentos de escalado o resolución de problemas mediante análisis dimensional, la constante adimensional es indeterminada, pero se suele suponer que es de orden 1.

1. ¿Qué significa "de orden 1"? 0.1-10?
2. ¿Hay alguna forma, cualitativa o cuantitativa, de ver por qué la constante adimensional es de orden 1?
3. ¿Hay excepciones? Me refiero a casos en los que la constante adimensional esté muy lejos de 1. ¿Podría dar algunos ejemplos? ¿Pueden deducirse tales excepciones únicamente a partir del análisis dimensional?

Answer 1

Una clase notable de excepciones son los llamados "problemas de jerarquía" en la física de partículas. Por ejemplo, si identificamos la masa de Planck como una escala de energía fundamental, acabamos con enormes números adimensionales que no tienen una explicación obvia (es decir, la relación entre la escala de Planck y la electrodébil, etc.). Explicar estos grandes (o pequeños, según se mire) números adimensionales es uno de los principales objetivos de la teoría de partículas.

Otro divertido contraejemplo: véase el cálculo original de 't Hooft de la interacción efectiva del instantón en 1976. Tras un largo cálculo, la respuesta resulta tener un factor adimensional $2^{10}\pi^{6}$ delante, resultado de una serie de normalizaciones gaussianas y demás.

Answer 2

He aquí dos ejemplos en los que fallan las estimaciones dimensionales:

Expresiones divergentes

Tengo un puntero láser apuntando a una pared directamente frente a mí, a 1 metro de distancia. Giro el puntero láser 90 grados en el transcurso de 1 segundo. ¿Cuál es la velocidad media del punto láser durante el giro? El argumento del análisis dimensional es 1metro/1segundo, que sería aproximadamente correcto si no tuviera una función singular. Ejemplos similares son los fenómenos resonantes, en los que se tiene mucha más respuesta de la que se podría predecir a partir del análisis dimensional.

Crecimiento exponencial:

Supongamos que tengo 20 partículas en una caja de masa M, en volumen V, con energía total E. ¿Cuándo volverán todas a estar dentro del 10% de sus posiciones/velocidades iniciales? Si ignoras el adimensional 19, obtendrás el tiempo de recurrencia de una partícula, que es mucho más corto.

Answer 3

Bueno, por supuesto tienes que elegir bien las cantidades en tu análisis dimensional.

Ejemplo: Utiliza el análisis dimensional para estimar la energía potencial de una estrella, unida sólo por la gravitación.

Solución: Constante gravitatoria de Newton $G$ mejor que aparezca en algún sitio. Esto requiere que incluyamos algo con unidades $kg^2 / m$ . Podemos obtenerlo insertando $M^2$ con $M$ la masa de la estrella, e insertando $1/R$ con $R$ el radio de la estrella. Así, la energía potencial se estima en $$E_\text{pot} \approx -G \frac{M^2}{R}$$ que está desfasado por un factor $3/5$ .

Podría, por supuesto, haber insertado la masa de un átomo de hidrógeno y entonces todo estaría desviado en muchos órdenes de magnitud...

No existe ninguna garantía general de que la constante sea de orden uno. Pero:

El motivo por el que a menudo sale como "orden de 1" es, en mi opinión, el siguiente:

En muchos casos, la verdadera solución implica una integral sobre una variable $x$ donde la función a integrar es de la forma $f(x) \sim x^n$ . En física, $n$ es pequeño en la mayoría de los casos, por lo que la integración da un factor $\frac{1}{n}$ . Otros factores correctivos que se ignoran en el análisis dimensional son $\pi$ , $2\pi$ o $4\pi$ es decir, algunos múltiplos enteros pequeños de $\pi$ .

Un contraejemplo... la constante de estructura fina $\alpha = \frac{1}{137}$ ¿tal vez? Pero esta constante en sí se puede obtener a través del análisis dimensional, así que no estoy seguro.

Answer 4

Excepción notable: El número de Reynolds.

Answer 5

Como complemento a las demás respuestas, cabe señalar que al formular leyes y relaciones se acostumbra a utilizar únicamente valores unitarios de las magnitudes físicas relevantes.

$F=ma$ , $V=IR$ etc podría perfectamente haber tenido una constante insertada, y si se pasa de las unidades SI será necesario incluir alguna. Por tanto, la falta de constantes numéricas al principio conduce a una falta de constantes al final del análisis...