Es evidente que W toma valores en [0,2] por lo que basta con encontrar P(W\leq w) o equivalentemente P(W>w) para w\in[0,2] :
\begin{aligned}P\left(W>w\right) & =\int_{0}^{1}P\left(X+Y>w,Y+Z>w\mid Y=y\right)dy\\ & =\int_{0}^{1}P\left(X>w-y,Z>w-y\mid Y=y\right)dy\\ & =\int_{0}^{1}P\left(X>w-y,Z>w-y\right)dy\\ & =\int_{0}^{1}P\left(X>w-y\right)P\left(Z>w-y\right)dy\\ & =\int_{0}^{1}P\left(X>w-y\right)^{2}dy \end{aligned}
La tercera igualdad se basa en la independencia de Y wrt X y Z .
La cuarta igualdad se basa en la independencia de X y Z .
La quinta igualdad se basa en que X y Z tienen la misma distribución.
Ahora es el momento de discernir los casos.
Si w\in\left[0,1\right] entonces procedemos con:
\begin{aligned}P\left(W>w\right) & =\int_{0}^{w}P\left(X>w-y\right)^{2}dy+\int_{w}^{1}P\left(X>w-y\right)^{2}dy\\ & =\int_{0}^{w}\left(1-w+y\right)^{2}dy+\int_{w}^{1}1dy\\ & =\left[\frac{1}{3}\left(1-w+y\right)^{3}\right]_{0}^{w}+1-w\\ & =\frac{1}{3}-\frac{1}{3}\left(1-w\right)^{3}+1-w\\ & =1-w^{2}+\frac{1}{3}w^{3} \end{aligned}
Si w\in\left[1,2\right] entonces procedemos con:
\begin{aligned}P\left(W>w\right) & =\int_{0}^{w-1}P\left(X>w-y\right)^{2}dy+\int_{w-1}^{1}P\left(X>w-y\right)^{2}dy\\ & =\int_{0}^{w-1}0dy+\int_{w-1}^{1}\left(1-w+y\right)^{2}dy\\ & =0+\left[\frac{1}{3}\left(1-w+y\right)^{3}\right]_{u-1}^{1}\\ & =\frac{1}{3}\left(2-w\right)^{2}\\ & =\frac{4}{3}-\frac{4}{3}w+\frac{1}{3}w^{2} \end{aligned}