Estadística ordenada de la suma de variantes uniformes

Question

Sea $X,Y,Z \sim \mathcal{U}[0,1]$ . ¿Cuál será la distribución de $W = \min(X+Y,Y+Z)$ ?

Creo que en primer lugar debería averiguar las distribuciones seguidas de $X+Y$ y $Y+Z$ y luego averiguar la estadística ordenada, pero sigo obteniendo una respuesta incorrecta.

Agradeceremos cualquier ayuda.

Answer 1

Es evidente que $W$ toma valores en $[0,2]$ por lo que basta con encontrar $P(W\leq w)$ o equivalentemente $P(W>w)$ para $w\in[0,2]$ :

$\begin{aligned}P\left(W>w\right) & =\int_{0}^{1}P\left(X+Y>w,Y+Z>w\mid Y=y\right)dy\\ & =\int_{0}^{1}P\left(X>w-y,Z>w-y\mid Y=y\right)dy\\ & =\int_{0}^{1}P\left(X>w-y,Z>w-y\right)dy\\ & =\int_{0}^{1}P\left(X>w-y\right)P\left(Z>w-y\right)dy\\ & =\int_{0}^{1}P\left(X>w-y\right)^{2}dy \end{aligned}$

La tercera igualdad se basa en la independencia de $Y$ wrt $X$ y $Z$ .

La cuarta igualdad se basa en la independencia de $X$ y $Z$ .

La quinta igualdad se basa en que $X$ y $Z$ tienen la misma distribución.

Ahora es el momento de discernir los casos.

Si $w\in\left[0,1\right]$ entonces procedemos con:

$\begin{aligned}P\left(W>w\right) & =\int_{0}^{w}P\left(X>w-y\right)^{2}dy+\int_{w}^{1}P\left(X>w-y\right)^{2}dy\\ & =\int_{0}^{w}\left(1-w+y\right)^{2}dy+\int_{w}^{1}1dy\\ & =\left[\frac{1}{3}\left(1-w+y\right)^{3}\right]_{0}^{w}+1-w\\ & =\frac{1}{3}-\frac{1}{3}\left(1-w\right)^{3}+1-w\\ & =1-w^{2}+\frac{1}{3}w^{3} \end{aligned}$

Si $w\in\left[1,2\right]$ entonces procedemos con:

$\begin{aligned}P\left(W>w\right) & =\int_{0}^{w-1}P\left(X>w-y\right)^{2}dy+\int_{w-1}^{1}P\left(X>w-y\right)^{2}dy\\ & =\int_{0}^{w-1}0dy+\int_{w-1}^{1}\left(1-w+y\right)^{2}dy\\ & =0+\left[\frac{1}{3}\left(1-w+y\right)^{3}\right]_{u-1}^{1}\\ & =\frac{1}{3}\left(2-w\right)^{2}\\ & =\frac{4}{3}-\frac{4}{3}w+\frac{1}{3}w^{2} \end{aligned}$