Demostrar que no existe la serie de convergencia "más lenta".

Question

Quiero demostrar que para cualquier serie convergente $\sum_{n=0}^{\infty}a_n$ con $a_n>0$ existe una secuencia $(b_n)$ , $\lim\limits_{n \to \infty} b_n = \infty$ tal que $\sum_{n=0}^{\infty}a_nb_n$ converge. ¿Alguna pista?

Answer 1

Pista: Definir una secuencia $(n_k)$ tal que para cada $k$ , $$ \sum_{n=n_k}^\infty a_n < \frac{1}{4^k} $$ utilice estos $n_k$ para definir una secuencia $(b_n)$ en el que para todos $k$ , $$ b_{n_k} = b_{n_k+1} = \cdots = b_{n_{k+1}- 1} $$

Answer 2

Pista: Hay números enteros positivos $n_1<n_2 < \cdots$ tal que

$$\sum_{n=n_k}^{n_{k+1}-1} a_n < \frac{1}{2^k}.$$