Considere la cuadrática $ax^{2}+bx+c=0$ . Esta ecuación es lineal si $a=0$ . Supongamos que escribimos $x=\frac{1}{y}$ obtenemos $a+by+cy^{2}=0$ . Desde $a=0$ obtenemos $y=-\frac{b}{c},0$ . Así, obtenemos dos raíces de la ecuación $ax^{2}+bx+c=0$ que son $x=\frac{-c}{b},\infty$ . Significa algo este argumento o tiene algún significado en alguna rama de las matemáticas o es sólo una de las discrepancias de dividir por $0$ ?
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Ama Aje My Fren
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El argumento es correcto y tiene importancia en el contexto adecuado (geometría proyectiva, como se sugiere en los comentarios), pero hay un punto sutil. La pregunta del título tiene una respuesta negativa: las ecuaciones lineales siguen teniendo una única solución en el entorno proyectivo. El punto clave es que, en este contexto, las ecuaciones lineales son no igual que las ecuaciones cuadráticas en las que el primer coeficiente es cero.
Las soluciones proyectivas de una ecuación polinómica $a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0 = 0$ son por definición los cocientes $X:Y$ donde $X$ y $Y$ son soluciones de la ecuación homogeneizada $a_n X^n + a_{n-1} X^{n-1} Y + \cdots + a_1 X Y^{n-1} + a_0 Y = 0$ (tratamos las relaciones $X:Y$ y $\lambda X:\lambda Y$ como equivalente si $\lambda$ es cualquier constante distinta de cero). En particular, dada una ecuación cuadrática $a x^2 + b x + c = 0$ su homólogo homogéneo es $a X^2 + b XY + c Y^2$ . Si $a=0$ se convierte en $b XY + c Y^2 = 0$ . Podemos factorizarlo como $Y(bX + cY) = 0$ por lo que podemos ver que una de las soluciones es $X:Y = 1:0$ (que corresponde al punto en el infinito, $\infty$ ), y el otro es $X:Y = -c:b$ (que, si $b\neq 0$ representa la solución finita $x=-c/b$ ).
Si hubiéramos partido de la ecuación lineal $b x + c = 0$ que se convierte en $bX + cY = 0$ de forma homogénea, el $X:Y = 1:0$ y sólo queda la solución finita. Así que, aunque suene raro, en un entorno proyectivo hay una diferencia entre una ecuación lineal y una ecuación cuadrática en la que resulta que el primer coeficiente es igual a cero. Dicho de otro modo, si queremos encontrar soluciones proyectivas de una ecuación polinómica dada (en forma no homogeneizada), siempre hay que especificar el grado previsto del polinomio, precisamente para evitar este tipo de ambigüedad.
Una aplicación de esto es el cálculo de los puntos fijos de un Transformación de Möbius en el Esfera de Riemann que es la recta proyectiva sobre los números complejos. Para una transformación genérica $\frac{ax+b}{cx+d}$ sus puntos fijos son las soluciones de la ecuación cuadrática
$$\frac{ax+b}{cx+d}=x \quad \to \quad c x^2+(d-a) x-b=0.$$
En $c=0$ la transformación de Möbius es afín (de la forma $\frac{a}{d}x + \frac{b}{d}$ ), y la ecuación cuadrática correspondiente se convierte en lineal, con aparentemente una única solución. Pero como revela el argumento anterior, el punto fijo que falta debe ser el punto en el infinito. De hecho, se pueden caracterizar las transformaciones afines como transformaciones de Möbius con un punto fijo en $\infty$ .
Además, cuando $c=0$ y $a=d$ (de modo que la tranformación de Möbius es una simple traslación $x \mapsto x+b$ ), la ecuación del punto fijo pasa a ser $b=0$ que aparentemente no tiene solución. En este caso, hay un único punto fijo en $\infty$ con multiplicidad $2$ (Las transformaciones de Möbius en las que ambos puntos fijos coinciden se denominan transformaciones parabólicas ; las traducciones son un ejemplo de ello).
