Es $S$ abierto o cerrado, donde $(S,d)$ es un espacio métrico

Question

Mi libro en Análisis dice:

Sea $(S,d)$ sea un espacio métrico. $S$ está abierto en $S$ y el conjunto vacío $\emptyset$ está abierto en $S$ .

Me parece justo. Pero luego proceden...

Un subconjunto $E$ de $S$ es cerrado si su complemento $S\setminus E$ es un conjunto abierto. En otras palabras, $E$ está cerrado si $E=S\setminus U$ donde $U$ es un conjunto abierto.

¿Cómo no es esto una contradicción? Tenemos que $S=S\setminus\emptyset$ . Por lo tanto, $S$ debe cerrarse. Pero $S$ también está abierto en $S$ .

Answer 1

De hecho, "abierto" y "cerrado" no son opuestos. En efecto: en un espacio $S$ , $S$ es a la vez abierto y cerrado, al igual que $\emptyset$ . Un espacio métrico es conectado exactamente cuando éstos son los dos únicos subconjuntos que son a la vez cerrados y abiertos.

Por supuesto, muchos conjuntos no son ni cerrados ni abiertos.

Answer 2

En algún lugar (creo que en este sitio) leí a alguien decir que los decorados pueden estar abiertos y cerrados a la vez porque no son puertas. Era una conexión que nunca había hecho antes, pero en el inglés cotidiano, usamos "open" y "closed" como antónimos, como puertas abiertas o cerradas (pero no ambas), botellas abiertas o cerradas (pero no ambas), etc. Este uso es totalmente irrelevante para el uso de "abierto" y "cerrado" en topología. Un conjunto puede ser a la vez abierto y cerrado, o incluso no ser ni abierto ni cerrado.