Tu notación es un poco torpe, pero puedo trabajar con ella para los fines de esta respuesta. Se trata del estimador estándar de diferencias en diferencias (DiD) con múltiples períodos anteriores y posteriores a la exposición. En lugar de indexar toda la época posterior al tratamiento con una variable ficticia, parece que desea interactuar su variable ficticia de tratamiento con separar después del tratamiento año indicadores. Esto es lo que creo que quieres hacer:
$$ y_{it} = \beta_{0} + \beta_{1}\text{Treat}_{i} + \sum_{j \neq k} \lambda_{j} \text{Year}_{t=j} + \sum_{j \neq k} \delta_j \left( \text{Treat}_i \cdot \text{Year}_{t=j} \right) + X_{it}'\gamma + \epsilon_{it}, $$
donde el $\delta_{j}$ son estimaciones separadas del efecto del tratamiento para cada año de tratamiento individual. Según su mensaje, usted considera $j \leq k$ como su pretratamiento época. Todos los periodos $j$ no igual a $k$ son, por lo tanto, representativos de variables ficticias del periodo posterior al tratamiento. Cada coeficiente de $\delta_{j}$ es una estimación del $j$ -ésimo aditivo anual efecto del tratamiento.
Tenga en cuenta que he sustituido la variable $\text{Post}_{t}$ con una serie de variables ficticias del año posterior al tratamiento. Se trata de no un conjunto completo de $T - 1$ para los años, sino que son variables ficticias separadas para los años posteriores a la exposición. En el software estándar, la interacción $\text{Treat}_{i}$ con una serie de indicadores posteriores al tratamiento dará lugar automáticamente a la estimación también de los efectos principales del año. Si incorpora $\text{Post}_{t}$ en su pliego de condiciones antes de $\text{Year}_{t}$ es probable que su modelo excluya un año para permitir la estimación de la variable posterior al tratamiento. Sin embargo, si incluye $\text{Post}_{t}$ después de las variables ficticias de cada año, es probable que el software elimine las $\text{Post}_{t}$ variable por completo. La variable $\text{Post}_{t}$ es una combinación lineal de las variables ficticias del año posterior al tratamiento, y la mayoría de los paquetes de software son lo suficientemente inteligentes como para tener soluciones rápidas para ello. En R, por ejemplo, el orden de las variables es importante cuando hay colinealidad.
Dejaría caer $\text{Post}_{t}$ y sustituirlo por indicadores separados para los años (es decir, variables ficticias posteriores a la exposición).
1) En primer lugar, ¿es posible ver la tendencia del grupo de control a través de los resultados de esta regresión?
No estoy seguro de a qué se refiere cuando dice "ver" la tendencia del grupo de control. Lo ideal sería haber trazado la evolución del tendencias en su grupo de tratamiento y control para evaluar la validez de este enfoque. Si se refiere a las estimaciones puntuales, creo que se refiere a las variables ficticias de cada año (es decir, las variables ficticias posteriores al tratamiento). Dado que se trata de un modelo de interacción, las variables ficticias temporales representan las diferencias individuales pre-post en unidades. no expuestos al tratamiento (es decir, $\text{Treat}_{i} = 0$ ). Dicho de forma más sencilla, el clásico DiD temps es la tendencia temporal del grupo de control . En la mayoría de las aplicaciones, $\delta_{j}$ debe sea tu foco de atención; se trata de tu(s) coeficiente(s) DiD.
2) ¿Es posible obtener el impacto total sobre Y? de la regresión obtengo los resultados de T-k coeficiente diferente, ¿puedo decir cuál es el impacto total del tratamiento sobre Y?
El impacto total del tratamiento es la interacción de su variable ficticia de tratamiento con $one$ indicador posterior al tratamiento. Su formulación es ahora más concisa:
$$ y_{it} = \beta_{0} + \beta_{1}\text{Treat}_{i} + \lambda \text{Post}_{t} + \delta (\text{Treat}_i \cdot \text{Post}_{t}) + X_{it}'\gamma + \epsilon_{it}, $$
donde $\text{Post}_{t}$ ya no es representativa de individual tontos. Se trata de un índice ficticio único todos periodos posteriores al tratamiento. Para poner esto en perspectiva, supongamos que se observa cada unidad transversal desde 2010 hasta el año en curso. Y supongamos que el tratamiento comienza en 2016 y se mantiene durante todo el periodo de observación. Una única variable ficticia posterior al tratamiento es igual a 1 en todos los años en que el tratamiento está en vigor en ambos grupos de tratamiento y control. Se trata de una variable ficticia igual a 1 a partir de 2016, independientemente del estatus de grupo de una unidad. Sin embargo, en la formulación anterior, incluimos múltiples efectos aditivos de año: una variable ficticia para 2016, una variable ficticia para 2017, una variable ficticia para 2018, etcétera, etcétera. Cada uno de ellos interactúa con la variable ficticia de tratamiento.
La segunda especificación suele ser el punto de partida. Su estimación de $\delta$ es el efecto total del tratamiento/intervención. La primera ecuación puede verse como una extensión de la segunda ecuación, con la que investigamos la posible heterogeneidad del efecto a lo largo del periodo posterior al tratamiento. Los efectos pueden crecer o desaparecer con el tiempo.
