¿Cuántos ideales contienen $(x^2+1)$ en $\mathbb{Z}_4[x]$ ?

Question

¿Cuántos ideales hay en $\mathbb{Z}_4[x]$ contienen $(x^2+1)$ ?

Me di cuenta de que $x^2+1$ es irreducible en $\mathbb{Z}_4[x]$ . Pero $\mathbb{Z}_4[x]$ no es un PID, por lo que $x^2+1$ no tiene por qué ser máxima en $\mathbb{Z}_4[x]$ . Así que estoy un poco atascado aquí. ¿Puede alguien ayudarme? Gracias.

Answer 1

Supongo $\Bbb Z_4$ significa $\Bbb Z/4\Bbb Z$ .

La respuesta a tu pregunta es "el número de ideales del anillo cociente $\Bbb Z_4[X]/(X^2+1)$ ". Pero $$R=\Bbb Z_4[X]/(X^2+1)\cong \Bbb Z[X]/(4,X^2+1)\cong\Bbb Z[i]/(4).$$ El anillo $\Bbb Z[i]$ es un PID, y los ideales que contienen a $(4)$ son generados por los factores de $4$ . Pero $(4)=((1+i)^4)$ como ideales en $\Bbb Z[i]$ , por lo que estos ideales son $((1+i)^k)$ para $0\le k\le 4$ . Son cinco.

Answer 2

No sé si entiendo bien su pregunta. Aviso $$x^2+1=(x-1)(x+1)+2=(x+3)(x+1)+3\pmod{4}$$ lo que significa $$(x^2+1)\subset (x-1,2)\quad\text{and}\quad (x^2+1)\subset (x+1,2).$$ Podemos descomponer como $$x^2+1=(3x+3)(3x+1)+2\pmod{4}$$ pero no sale nada nuevo.

También podemos observar que $$(x+1)^4=x^4+4x^3+6x^2+4x+1=x^4+2x^2+1=(x^2+1)^2\pmod{4}$$ o $((x+1)^4)\subset(x^2+1)$ .