¿Qué hay de malo en mi prueba de que toda función par debe tener una primitiva par?

Question

Sea $f(x)$ sea una función par integrable. Entonces: $f(-x) = f(x)$ . Sea $F(x)$ sea una función primitiva de $f(x)$ . Entonces $F'(x) = f(x)$ .

Enchufar $-x$ en $F'(x)$ : $$F'(-x) = f(-x) = f(x)$$

Tomar la integral indefinida de ambos lados: $$\int F'(-x)dx = \int f(x)dx$$

rendimientos: $$F(-x) = F(x) + C$$ Para $C=0$ que tenemos: $$F(-x) = F(x)$$ lo que significa que $f$ tiene una primitiva par. Pero como sé por mi libro de texto que una primitiva par $f$ debe tener una primitiva impar y que cada dos primitivas de la misma función difieren en una constante, entonces tenemos una función par y una función impar que difieren en una constante. Esto es imposible, además de funciones triviales por lo que debe haber un error en mi prueba. Tengo la sensación de que es bastante obvio, pero simplemente no lo veo. Espero que puedas ayudarme a encontrarlo. Gracias.

Answer 1

Al pasar de $$\int F'(-x)dx = \int f(x)dx$$ a $$F(-x) = F(x) + C$$ usted afirma que $F(-x)$ es una primitiva de $F'(-x).$ Pero por la regla de la cadena, $$ \frac{\mathrm d}{\mathrm dx} F(-x) = F'(-x) \frac{\mathrm d}{\mathrm dx} (-x) = -F'(-x). $$ Así que $F(-x)$ es en realidad una primitiva de $-F'(-x),$ y ahora debería ser capaz de demostrar que $-F(-x)$ es una primitiva de $F'(-x).$

En resumen, has cometido un error de signo, y por eso crees que tienes una primitiva par cuando en realidad tienes una primitiva impar.

Answer 2

$\int F'(-x)dx =-\int -F'(-x)dx=-F(-x)= \int f(x)dx$