Una pregunta sobre las integrales de superficie y el teorema de Stoke

Question

Sea $G$ sea un conjunto abierto en $ \Bbb R^3$ y $F:G \rightarrow \Bbb R^3-{0}$ un campo vectorial de clase $C^1$ . Supongamos que $S$ es un conjunto abierto, contenido en $G$ cuya frontera no vacía $\delta S$ también figura en $G$ . Sea $T$ denotan el vector normal de una parametrización suave de $ \delta S $ y que el ángulo entre $T(x_0)$ y $F(x_0)$ sea no-obtuso para cada $x_0$ en $\delta S$ y también $ \int_S curl\ F \ dS =0$ .

Demuestra que $T(x_0)$ y $F(x_0)$ son ortogonales para cada $x_0$ en $\delta S$ .

Intenté usar el Teorema de Stoke:

$$\int_S curl\ F \ dS = \int_{\theta(t)}F \ T \ dt = 0 $$

Pero no estoy seguro de si eso es suficiente para garantizar que $F \ T =0$

¿Tiene alguna sugerencia?

Answer 1

Sugerencia: Si el ángulo entre $F$ y $T$ es no-obtuso en un punto, ¿qué se puede decir de $F\cdot T$ ¿en ese momento? ¿Qué le dice eso sobre $\int_{\partial S} F\cdot T$ ?