¿Existen condiciones sencillas en una métrica riemanniana sobre la biesfera que impliquen que un bucle geodésico de longitud mínima sea en realidad una geodésica periódica?
Por ejemplo, ¿es esto cierto para pequeñas perturbaciones de la métrica redonda, para métricas con curvatura convenientemente pellizcada, ...? ?
Adenda (16/09/2013). Cuando hice esta pregunta pensé que podría tener una respuesta fácil o conocida, pero al parecer no es así. Tal vez sea útil entonces que aporte algo de contexto. También será útil para mí, ya que ahora estoy escribiendo estas cosas en un artículo con Balacheff.
Una cuestión abierta en geometría de Riemann que aprendí de Florent Balacheff pregunta si toda métrica de Riemann sobre la biesfera que sea suficientemente próxima a la métrica redonda y cuya área sea $4\pi$ lleva una geodésica cerrada de longitud máxima $2 \pi$ . Lo que más me llamó la atención es que esta desigualdad conjeturada es realmente local: hay métricas alejadas de la métrica redonda para las que no es cierta. Sin embargo, fue un poco decepcionante que la métrica redonda o la métrica de Zoll no resultaran ser las métricas extremas para este problema y empecé a buscar una desigualdad similar en la que fuera al menos razonable conjeturar que las métricas extremas son de Zoll. Encontré la siguiente variante, que llamo la "conjetura de la figura 8":
Conjetura de la figura 8. Una métrica riemanniana en la biesfera con área igual a $4\pi$ lleva una geodésica cerrada que es homotópica regular a una figura 8 y cuya longitud es como máximo $4\pi$ . Además, si la igualdad se alcanza en una métrica (suave), la métrica es Zoll.
Obsérvese que este resultado implicaría que una métrica riemanniana en la biesfera con área igual a $4\pi$ lleva un bucle geodésico cuya longitud es como máximo $2\pi$ . La OP pregunta si esto implica que existe una geodésica periódica de longitud máxima $2\pi$ .
La razón por la que la conjetura de la figura 8 puede ser cierta es que se deduce de una versión natural de la conjetura de Viterbo:
Sea $\alpha$ sea una forma de contacto en la esfera tridimensional $S^3$ . Si ${\rm Ker} \alpha$ es la estructura de contacto estándar (estrecha) en $S^3$ entonces el volumen de $(S^3,\alpha)$ definido por $$ {\rm vol}(S^3,\alpha) = \int_{S^3} \alpha \wedge d\alpha , $$ no es menor que el cuadrado del período más pequeño de una órbita de Reeb cerrada (es decir, una curva integral periódica del campo vectorial definido por $\alpha(X) = 1$ , $d\alpha(X,\cdot) = 0$ ).
Michael Hutchings también llegó a esta conjetura a partir de su trabajo sobre homología de contacto (véase su blog ) y de hecho en algún momento pensé que había encontrado un contraejemplo y él amablemente me volvió a poner en el camino correcto. I cree las únicas respuestas parciales que se conocen son las siguientes (y se trata de un trabajo conjunto con Florent Balacheff):
1. Si entre todas las formas lisas de contacto estrecho en la esfera de tres hay una para la que la relación (volumen/cuadrado del periodo más pequeño de una órbita periódica de Reeb) es mínima, entonces la conjetura es cierta. En otras palabras, la existencia de una suave minimizador de esta relación resuelve la conjetura.
2. Si $\alpha_t$ es una deformación suave de volumen constante de la forma de contacto estándar en $S^3$ que no sea formalmente trivial, entonces para cada $t$ diferente de cero $(S^3, \alpha_t)$ lleva una órbita periódica de Reeb con período menor que $\pi$ .
Una defomación $\alpha_t$ es formalmente trivial si para cada entero positivo $k$ existe una isotopía $\phi_t$ (según $k$ ) tal que $\alpha_t$ y $\phi_t^* \alpha$ aceptar el pedido $k$ en $t = 0$ .
3. Sea $K \subset \mathbb{R}^4$ sea un cuerpo convexo e identifiquemos $\mathbb{R}^4$ con el espacio de los cuaterniones. Si $K$ es invariante bajo la multiplicación a la izquierda por los cuaterniones $i$ , $j$ y $k$ entonces el límite de $K$ lleva una órbita de Reeb cerrada cuyo período es menor que la raíz cuadrada de su volumen (de contacto).
Este último resultado se deriva de la generalización de Finsler de Sergei Ivanov de la desigualdad isosistólica de Pu (un resultado realmente ingenioso, que tiene muchos corolarios hermosos incluyendo la desigualdad de Mahler para el producto volumen de cuerpos convexos simétricos en el plano).
