Hallar el argumento de una función compleja

Question

Tengo la siguiente función de transferencia:

$$H(s)=\frac{1}{as^3+bs^2+cs+1}$$

Dónde $a,b,c$ son todos reales y positivos.

¿Cómo puedo encontrar $\arg(H(i\omega))$ ? Y sé que $\omega\ge0$

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Lo que hice:

$$H(i\omega)=\frac{1}{a(i\omega)^3+b(i\omega)^2+c(i\omega)+1}=\frac{1}{-a\omega^3i-b\omega^2+c\omega i+1}=$$ $$\frac{1}{1-b\omega^2+(c\omega-a\omega^3)i}$$

Ahora encontrar el argumento que puedo escribir:

$$\arg(H(i\omega))=\arg(1)-\arg(1-b\omega^2+(c\omega-a\omega^3)i)=$$ $$0-\arg(1-b\omega^2+(c\omega-a\omega^3)i)=-\arg(1-b\omega^2+(c\omega-a\omega^3)i)$$

Ahora, ¿cómo puedo configurar una función que dependa del valor de $a,b,c,\omega$ ?

Answer 1

Denote $\theta=\arg(H(i\omega))$ y $$r=|1-b\omega^2+(c\omega-a\omega^3)i|=\sqrt{(1-b\omega^2)^2+(c\omega-a\omega^3)^2}.$$ En $$\theta=-\arg\big(1-b\omega^2+(c\omega-a\omega^3)i\big)$$ obtenemos $$r\cos \theta =1-b\omega^2 \quad \text{and} \quad r\sin \theta =-(c\omega-a\omega^3)$$ y luego $$\tan \theta = \frac{a\omega^3-c\omega}{1-b\omega^2}.$$ Por último $$\theta = \arctan\frac{a\omega^3-c\omega}{1-b\omega^2}.$$

Supuse en silencio que $1-b\omega^2\neq 0.$ Si fuera $0,$ el argumento estaría claro desde el principio.

Answer 2

La única forma práctica es resolver la cúbica, una vez dados los valores de los parámetros, y factorizarla.