¿Qué versión de Hahn-Banach utiliza esta prueba?

Question

Me refiero a esto: https://en.wikipedia.org/wiki/Goldstine_theorem

¿Qué versión del teorema de Hahn-Banach utiliza la prueba?

Según tengo entendido, existen diferentes versiones de Hahn-Banach ( https://en.wikipedia.org/wiki/Hahn%E2%80%93Banach_theorem ), por ejemplo, Hahn Banach geométrico, etc., aunque no estoy seguro de qué versión utiliza esta prueba.

Gracias por cualquier ayuda.

Answer 1

Defina $\phi \colon U + \def\span{\operatorname{span}}\span\{x\} \to \mathbf R$ por $$ \phi(u + \lambda x) = \lambda \def\d{\operatorname{dist}}\d(x,U) $$ Entonces $\phi$ está acotado, ya que $$ \def\abs#1{\left|#1\right|}\def\norm#1{\left\|#1\right\|} \abs{\phi(u+\lambda x)} = \abs{\lambda} \abs{\d(x,U)} \le \abs{\lambda} \norm{x - (-\lambda^{-1}u)} = \norm{u+\lambda x} $$ Por lo tanto $\norm{\phi} \le 1$ . Por Hahn-Banach (la versión de extensión) existe un $\Phi \in X^*$ tal que $\norm{\Phi} = \norm{\phi} \le 1$ y $\Phi|_{U+\span \{x\}} = \phi$ es decir $\Phi|_U = 0$ y $\Phi(x) = \d(x,U) \ge 1+\delta$ .