¿Por qué las funciones propias de Dirichlet son analíticas reales?

Question

Consideremos el problema de valores propios $\Delta u + \lambda u = 0$ en un dominio acotado $\Omega \subset \Bbb R^d$ de frontera suave, con datos de Dirichlet $u|_{\partial\Omega} =0$ . Se sabe que las soluciones $u$ son analíticas reales dentro de $\Omega$ .

Se supone que es un hecho sencillo, pero no he podido encontrar una referencia/prueba que lo demuestre (que yo haya podido entender). Sólo encontré referencias para cosas más avanzadas, como ecuaciones cuasilineales con coeficientes no analíticos, etc... De todos modos, la mayoría de las referencias que he leído tratan de generalizar, lo que hace más difícil la lectura - no estoy interesado en un caso más general.

¿Por qué $u$ ¿real-analítico? ¿Se deduce del teorema de Cauchy-Kowalewsky (y si es así, cómo)? ¿Existe una prueba sencilla de esto (sólo para la EDP anterior, no en general)?

Answer 1

Aquí tienes una demostración muy sencilla suponiendo que conoces los teoremas de incrustación de Sobolev.

Incrustación de Sobolev para dominios $$ \| u\|_{L^{\infty}(\Omega)} \leq C_{\Omega,d,s} \| u \|_{H^s_0(\Omega)} \tag{*}$$ si $s > s_0 = d/2$ . El espacio $H^s_0$ es el $L^2$ espacio de Sobolev con $s$ derivadas que desaparecen en la frontera. Para $s$ un número entero positivo es el cierre de $C^\infty_0(\Omega)$ según la norma $$ \|u\|_{H^s(\Omega)}^2 = \|u\|_{L^2(\Omega)}^2 + \sum_{|\alpha| \leq s} \|\partial^\alpha u\|_{L^2(\Omega)}^2 $$ donde $\alpha$ son multiíndices.

Estimación a priori Integramos por partes $$ \int_{\Omega} u \triangle u = \int_{\Omega} - |\nabla u|^2 $$ suponiendo condiciones de contorno de Dirichlet. Por tanto, para la función propia de Dirichlet tenemos $$ \|\nabla u \|_{L^2(\Omega)}^2 = \lambda \|u\|_{L^2(\Omega)}^2 $$ (en cualquier caso, ésta es básicamente la definición del cociente de Rayleigh de la función propia). Esto implica que $$ \| u\|_{H^s}^2 \leq \|u\|_{L^2} + \lambda \|u\|_{H^{s-1}}^2$$ lo que implica $$ \| u\|_{H^s}^2 \leq (1 + \lambda + \cdots + \lambda^s) \|u\|_{L^2}^2 $$ y que para los multiíndices $\alpha$ tenemos $$ \sum_{|\alpha| = k} \| \partial^\alpha u\|_{H^s}^2 \leq \lambda^{k}(1 + \lambda + \cdots + \lambda^s) \|u\|_{L^2}^2 \tag{**}$$

Finalización de la prueba

Las ecuaciones ( $*$ ) y ( $**$ ) combinado con $s > s_0$ da $$ \sum_{|\alpha| = k} \| \partial^\alpha u\|_{L^\infty(\Omega)}^2 \leq C_{d,s,\Omega, \lambda}' \lambda^{k} \|u\|_{L^2(\Omega)}^2 $$ donde hemos absorbido el factor $(1 + \cdots + \lambda^s)$ en el factor constante; esto muestra

1. La función es suave, ya que todas las derivadas superiores están acotadas y
2. Los coeficientes de Taylor crecen exponencialmente en $k$ y por tanto las series de Taylor convergen en una vecindad abierta de cada punto, y por tanto la función es analítica real.

---

El mismo argumento puede adaptarse para demostrar el mismo resultado para muchos otros operadores elípticos lineales.

Answer 2

La afirmación realmente es: si $f$ es una distribución en un subconjunto abierto $\Omega$ de $\mathbb R^n$ y $\Delta f=\lambda f$ entonces $f$ es analítica real. Para probarlo:

1: encontrar una distribución $G$ en $\mathbb R^n$ tal que $(\Delta-\lambda)G=\delta$ . Esto puede hacerse explícitamente mediante la transformada de Fourier, y el resultado es una función analítica real excepto en $0\in\mathbb R^n$ .

2: para cualquier $x\in\Omega$ tomemos una función suave compactamente soportada $\psi$ en $\Omega$ que es igual a $1$ en un barrio de $x$ . Sea $g=(\Delta-\lambda)(\psi f)$ . Tenemos $g=0$ en el subconjunto abierto donde $\psi$ es localmente constante. Como $g$ tiene un soporte compacto, $\psi f=G\ast g$ .

3: como $G$ es analítica real excepto en $0$ o equivalentemente, $G$ es holomorfa en una pequeña vecindad de $\mathbb R^n-\{0\}$ en $\mathbb C^n-\{0\}$ la convolución $G\ast g$ es analítica real en el complemento del soporte de $g$ ya que hay $(G\ast g)(x)=\langle g(y),G(x-y)\rangle$ podemos permitir $x$ ser complejo y diferenciarse con respecto a $x$ .