¿Cómo verifico el índice de conservación de la energía total?

Question

Está dada la ecuación diferencial

$\dot{x}=p$

$\dot{p}=-x^3+x$

¿Cómo verifico el índice de conservación de la energía total?

$H(x,p)=\frac{x^4}{4}-\frac{x^2}{2}+\frac{p^2}{2}+\frac{1}{2}$ ?

¿Qué sigue para las curvas solución de la ecuación diferencial?

He encontrado en internet que si quiero comprobar la conservación de la energía, necesito verificar que

$0=\frac{dH}{dt}=\frac{dH}{dx}\frac{dx}{dt}+\frac{dH}{dp}\frac{dp}{dt}$

No estoy seguro de si esta ecuación es buena, pero si lo es, ¿cuál es mi $t$ ¿Aquí?

Answer 1

Deberías obtener las identidades de los campos vectoriales hamiltonianos resp. la mecánica H~ $$ \dot x=H_p,\ \ \dot p = -H_x $$ que te da $$ \frac{d}{dt}H(x,p)=H_x\dot x+H_p\dot p=H_x\,H_p+H_p\,(-H_x)=0. $$ La integración de las ecuaciones dadas da como resultado $$H(x,p)=\frac12p^2+V(x)$$ y de ahí $$-H_x=-V'(x)=-x^3+x$$ que conduce a $$V(x)=\frac14x^4-\frac12x^2+C.$$ Se puede elegir $C$ para completar el cuadrado de forma que finalmente $$ H(x,p)=\frac12p^2+\frac14(x^2-1)^2. $$