Lagrange para Goldstone, de modo + topológico de excitación

Question

El XY-modelo de Hamilton es la siguiente,

$${\cal H}~=~-J\sum_{\langle i,j\rangle} \cos (\theta_i -\theta_j).$$

La Goldstone modo corresponde a plazo $(\nabla \theta)^2$ en la eficacia de Lagrange.

Entonces, ¿cuál es la forma de efectivo de Lagrange que produce tanto Goldstone modo y topológicas de excitación (vórtices)?

Y la forma de obtener el efectivo de Lagrange de la XY-Hamilton?

Answer 1

Este es un libro de texto estándar ejemplo. Buenos tratamientos pueden, por ejemplo, se encuentra en Altland (de la Materia Condensada, la Teoría de Campo) o Nagaosa (la Teoría Cuántica de campos en Física de la Materia Condensada). Sin embargo, el razonamiento básico puede ser entendido fácilmente:

Considerar el cambio en el ángulo producido al realizar un circuito cerrado alrededor de algún punto. Ingenuamente, obtenemos $$\begin{align} \Delta \theta = \oint d \vec r \cdot \nabla \theta(\vec r) = \int d^2 r \, \vec e_z \cdot \vec \nabla \times \nabla \theta(\vec r) = 0, \end{align}$$ donde teorema de Stokes fue utilizado en la segunda etapa y el hecho de que $\vec \nabla \times \nabla f = 0$ para cualquier función escalar f. Sin embargo, sabemos que, debido al carácter compacto de nuestro ángulo variable $\theta(\vec r)$, no tenemos que volver exactamente con el mismo ángulo, pero tienen más libertad y se les permite tener $\Delta \theta = 2\pi n$$n \in \mathbb{Z}$. Cuando Taylor-la expansión de la original coseno, hemos perdido la información sobre el carácter compacto de la $\theta$-variables y por lo tanto tienen que reinclude manualmente.

Para incluir esta libertad adicional, tenemos que generalizar la diferencia de fase de campo $\vec u$ en la forma $\vec u = \nabla \theta(\vec r) + \vec \nabla \times \vec A(\vec r)$, donde el campo vectorial $\vec A(\vec r) = \psi(\vec r) \vec e_z$ sólo puede tener un $z$-componente en orden de $\vec u$ a mentir en el plano xy. Entonces $$\begin{align} 2 \pi n = \oint d \vec r \cdot \vec u(\vec r) = \int d^2 r \, \vec e_z \cdot \vec \nabla \times \vec u(\vec r) = -\int d^2 r \, \vec \nabla^2 \psi(\vec r) \end{align}$$ donde $\vec \nabla^2 = (\vec \nabla \cdot \vec \nabla)$ es la de Laplace-operador y el vector de identidad de $\vec \nabla \times (\vec \nabla \times \vec A) = \nabla (\vec \nabla \cdot \vec A) - (\vec \nabla \cdot \vec \nabla) \vec A$ fue utilizado cuyo primer término se desvanece para $\vec A = \psi(\vec r) \vec e_z$ desde $\psi(\vec r)$ no $z$-dependencia. En consecuencia, se encuentra $$\begin{align} \vec \nabla^2 \psi(\vec r) = -2\pi \sum_i n_i \delta(\vec r - \vec r_i) \end{align}$$ y entendemos que esta diciendo que el campo $\psi(\vec r)$ describe los vórtices de la liquidación de los números de $n_i$ centrado en las posiciones $\vec r_i$. La ecuación anterior para $\psi(\vec r)$ es la definición de la ecuación de combinaciones lineales de las soluciones fundamentales de la ecuación de Laplace (en 2D), que se dan por $$\begin{align} \psi(\vec r) = - 2 \pi \sum_i n_i \log(\vert \vec r - \vec r_i\vert). \end{align}$$ Conectar la diferencia de fase en el campo efectivo de Hamilton, uno encuentra $$\begin{align} H = -\frac{J}{2} \int d^2 r \, \vec u^2 = -\frac{J}{2} \int d^2 r \, (\nabla \theta(\vec r))^2 + (\vec \nabla \times \psi(\vec r) \vec e_z)^2, \end{align}$$ donde la mezcla de término de la participación de la $\theta$ e las $\psi$ campo desapareció después de una integración parcial. La primera parte corresponde a la vuelta de onda de las excitaciones que usted ha mencionado, mientras que el segundo codifica los vórtices. Es sencillo demostrar que $(\vec \nabla \times \psi(\vec r) \vec e_z)^2 = (\nabla \psi)^2 = -\psi (\vec \nabla \cdot \vec \nabla) \psi$ después de una integración parcial, de tal manera que el topológica de la primera parte termina con está dada por $$\begin{align} H_\text{top} = \frac{J}{2} \sum_{ij} n_i n_j \frac{\log(\vert \vec r_i - \vec r_j\vert)}{2\pi}. \end{align}$$ El paso a la formulación de Lagrange del problema es trivial ya que no canónica momenta están involucrados.