¿La localización de un ideal primo sigue siendo un ideal primo?

Question

Soy nuevo en el tema, así que esta pregunta puede parecer trivial. Pero espero que si alguien puede ayudar a explicar a mí si un ideal primo $P$ de un dominio $A$ sigue siendo un ideal primo $P_s$ en la localización $A_s$ . Además, ¿sigue siendo cierto lo contrario?

En realidad no tengo ninguna referencia, es sólo una pregunta que me hago.

Answer 1

Sí. Tenga en cuenta que $P_s$ siendo primo es equivalente a $A_s/P_s$ siendo un dominio, y la localización conmuta con la toma de cocientes, es decir. $A_s/P_s\cong (A/P)_{\bar s}$ donde $\bar s$ es la imagen de $s$ en $A/P$ . Por lo tanto, si $P$ es primo tenemos $A/P$ es un dominio por lo que $A_s/P_s$ es un dominio. Sin embargo, la inversa sólo es válida si se supone que $s\notin P$ (o si $s$ representa un conjunto, $s\cap P=\emptyset$ ), ya que de lo contrario $A/P$ puede no ser un dominio pero $\bar s$ es (o contiene) un divisor cero por lo que $(A/P)_{\bar s}$ puede ser un dominio.