Cohomología de la parte móvil de un sistema lineal

Question

Sea $X$ sea una superficie compleja proyectiva lisa, $L$ un haz de líneas descompuesto en su parte fija y móvil como $|L|=F+|M|$ .

Intuitivamente, la inclusión de $|M|$ en $|L|$ produce un isomorfismo $H^0(X,M)\simeq H^0(X,L)$ .

(pero no estoy seguro de cómo mostrar esto con precisión, por lo que cualquier elaboración sería muy apreciada)

Lo que ocurre para cohomología superior (posiblemente añadiendo algunos supuestos sobre $L$ ) ?

Por ejemplo, ¿tenemos $h^1(M)=h^1(L)$ ? (si no, ¿qué pasaría si $h^1(L)=0$ ?)

Answer 1

En primer lugar, el isomorfismo que usted afirma es más o menos el definición de la parte fija de $L$ . Más exactamente, supongo que se podría decir que la parte fija de $L$ es el máximo divisor $F$ tal que $H^0(X,F)$ es unidimensional y el mapa de multiplicación

$$H^0(X,L-F) \otimes H^0(X,F) \rightarrow H^0(X,L)$$ es un isomorfismo.

Para ver lo que ocurre con cohomología más alta, observe la secuencia de la gavilla ideal para el divisor $F$ :

$$\mathcal O_x(-F) \rightarrow \mathcal O_X \rightarrow \mathcal O_F.$$

Tensor por $L$ y tomar cohomología:

$$0 \rightarrow H^0 (X,L-F) \rightarrow H^0(X,L) \rightarrow H^0(F,L_{|F}) \\ \rightarrow H^1(X,L-F) \rightarrow H^1(X,L) \rightarrow H^1(F,L_{|F}) \\ \rightarrow H^2(X,L-F) \rightarrow H^2(X,L) \rightarrow 0.$$

(donde el final $0$ es $H^2(F,L_{|F})$ que desaparece porque $F$ es unidimensional).

Esto es bastante lioso, así que digamos que estamos en una superficie con dimensión de Kodaira a lo sumo 0. Entonces la dualidad de Serre muestra que el $H^2$ de la secuencia anterior desaparecen. Esto simplifica las cosas hasta cierto punto.

Ahora por definición de "parte fija", el primer mapa no trivial en la secuencia anterior es un isomorfismo, por lo que reducimos a una secuencia exacta de 4 términos

$$0 \rightarrow H^0(F,L_{|F}) \rightarrow H^1(X,L-F) \rightarrow H^1(X,L) \rightarrow H^1(F,L_{|F}) \rightarrow 0.$$

Ahora podemos ver que pueden pasar varias cosas, pero sólo obtenemos el isomorfismo que queremos si $L_{|F}$ no tiene cohomología.