Productos topológicos semidirectos

Question

En Kaniuth, Taylor, Representaciones inducidas de grupos localmente compactos en las páginas 9-10 se afirma que si $G$ es un grupo localmente compacto con subgrupos cerrados $N,H$ con $N$ normal en $G$ con $N\cap H=\{e\}$ y con $NH=G$ entonces $G$ es un producto topológico semidirecto de $N$ y $H$ .

Copiamos el prueba algebraica definiendo una acción $\alpha_h(n) = hnh^{-1}$ que será convenientemente continua, lo que nos permitirá construir $N \rtimes_\alpha H$ . El mapa $N \rtimes_\alpha H \rightarrow G; (n,h) \mapsto nh$ es un isomorfismo de grupos, y claramente continuo.

¿Por qué es continua la inversa de este mapa?

Tendrías que demostrar que dadas las redes $(n_i)\subseteq N, (h_i)\subseteq H$ con $n_ih_i\rightarrow e$ entonces necesariamente $n_i\rightarrow e, h_i\rightarrow e$ . No veo cómo hacerlo.

(En algunas condiciones, por ejemplo, que $N \rtimes_\alpha H$ es $\sigma$ -compactos, existen teoremas de mapeo abierto para grupos localmente compactos, que lo demostrarían. Por ejemplo, véase el Corolario 1.7 en Hofmann, Morris, Teorema del mapa abierto para grupos topológicos (pdf) .)

Answer 1

Añadido: A continuación figura mi anterior intento de respuesta.

Parece que para $G$ sea el producto semidirecto topológico interno de $N$ y $H$ con $H$ actuando sobre $N$ mediante conjugación por definición $G$ debe tener la topología del producto $N\times H$ . La continuidad de $\pi: G\to H$ que (erróneamente) utilizo a continuación es, de hecho, equivalente a esto (véase, por ejemplo, Bourbaki's Topología general Capítulos 1-4, p.242.).

En general, si $G$ es un grupo topológico, $N,H\leq G$ son subgrupos con N normal tales que $NH=G$ y $N\cap H=1$ (para que $G\cong N\rtimes^{\text{Alg}} H$ como grupos sin topologías especificadas), entonces se puede formar el producto semidirecto topológico externo $N\rtimes^{\text{Top}} H$ . A continuación, el mapa $N\rtimes^{\text{Top}} H\to G, (n,h)\mapsto nh$ es siempre un isomorfismo de grupos y es continuo, pero su inverso no tiene por qué ser continuo (véase de nuevo Bourbaki).

Para un ejemplo de producto algebraico semidirecto interno que no es un producto topológico semidirecto interno, véase Roelke & Dierolf's Estructuras uniformes en grupos topológicos y sus cocientes , p.121, Ex.6.18.a.

Queda por ver si se asume adicionalmente que $G$ es localmente compacta y $N,H$ son cerrados se obtiene que $G$ tiene la topología del producto automáticamente (que es lo que se pedía originalmente). En el momento de escribir esta última edición no he sido capaz de producir un contraejemplo o dar una prueba. (En el contraejemplo Roelke-Dierolf $N$ es denso y el índice $2$ al parecer).

Añadiré más detalles si hago algún progreso.

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Para cualquier $g\in G$ hay un único $n_g\in N$ y $h_g\in H$ tal que $g=n_g h_g$ . $\pi:G\to H, g\mapsto h_g$ es un homomorfismo de grupo topológico suryectivo con núcleo $\ker(\pi)=N$ . Si $n_\bullet h_\bullet \to e$ entonces $h_\bullet=\pi(n_\bullet h_\bullet)\to \pi(e)=e$ por lo que también $h_\bullet^{-1}\to e$ . Así $n_\bullet=n_\bullet h_\bullet h_\bullet^{-1}\to e$ .