Otra Tangente por la Tangente

Question

Esta pregunta ayer me puso a pensar. Mientras que los derivados de la función tangente lapso de un infinito dimensional espacio vectorial sobre $\mathbb{C},$ la trascendencia grado de que el campo generado por estos derivados es finito.

Aquí hay dos maneras de ver esto. Uno es observar que

$$X^2 - DX + 1 = 0$$

donde $X$ denota la función tangente. Mientras que la mejor manera es observar que a través de la suma del producto/de la regla, el campo obtenidos por contigua a la del conjunto de la derivada de una función $f$ $\mathbb{C}$denotado $\mathbb{C}(\mathcal{D}f)$ es cerrado bajo la diferenciación y la $\mathbb{C}(\mathrm{tan}) \subset \mathbb{C}(Exp) = \mathbb{C}(\mathcal{D}Exp)$

De hecho, el uso de las reglas básicas de diferenciación, se puede demostrar que si la trascendencia grados más de $\mathbb{C}$ $\mathbb{C}(\mathcal{D}f)$ $\mathbb{C}(\mathcal{D}g)$ son finitos, también lo son los grados de trascendencia $\mathbb{C}(\mathcal{D}(f + g)),$ $\mathbb{C}(\mathcal{D}(fg))$ y $\mathbb{C}(\mathcal{D}(f \circ g)).$

Lo que me lleva a mi pregunta:

¿Existen funciones de $f$ cuales son meromorhic en $\mathbb{C}$ de manera tal que la trascendencia grado de $\mathbb{C}(\mathcal{D}f)$ $\mathbb{C}$ es infinito?

Answer 1

La respuesta es sí, y hay muchos.

Recordando que la trascendencia de la base de $\mathbb{R}/\mathbb{Q}$ es infinito, podemos elegir una secuencia de números reales $\langle a_i \rangle_{i\in\omega}$ que son algebraicamente independientes sobre $\mathbb{Q}$ y satisfacer $0<a_i<\frac{1}{i!}.$ Considera la serie de $\displaystyle\sum_{i=0}^{\infty} a_iz^i.$ Esta serie converge uniformemente en $\mathbb{C}$ y por lo tanto se define una función completa. Denotamos esta función por $f.$

Pretendemos que la trascendencia grado de $\mathbb{C}(\mathcal{D}f)/\mathbb{C}$ es infinito. Deje $p \in \mathbb{C}[X_1,...,X_n]$ tal que $p(f,Df,D^2f,...,D^nf) = 0$ $\alpha_1,...,\alpha_k$ ser los coeficientes de $p$ $\mathbb{C}.$ Igualando los coeficientes en el poder de la serie de $p(f,Df,D^2f,...,D^nf)$ y el poder de la serie de $0,$ obtenemos para cada una de las $i\in\omega$ un polinomio $p_i\in\mathbb{Q}(\alpha_1,...,\alpha_k)[Y_0,...,Y_i]$ tal que $p_i(a_0,...,a_i) = 0.$ Como la trascendencia grado de $\mathbb{Q}(\alpha_1,...,\alpha_k)(a_0,a_1,...)/\mathbb{Q}(\alpha_1,...,\alpha_k)$ es infinito, éste debe ser el caso que existe un $N\in\mathbb{N}$ tal que para todos los $i>N$ el polinomio $p_i(a_0,..,a_N,Y_{N+1},...,Y_i) = 0.$

Vamos

$$g(z) = a_0 + ... + a_Nz^N + \displaystyle\sum_{i=N+1}^{\infty} Y_{i}z^{i}\in \mathbb{C}[Y_i:N<i][[z]].$$

A continuación, $p(g,Dg,...D^ng) = 0.$ Se deduce que, si $p$ es distinto de cero, la trascendencia grado de $\mathbb{C}(\mathcal{D}g)/\mathbb{C}$ es finito. Pero $\mathbb{C}(\mathcal{D}g)$ contiene el anillo de $\mathbb{C}[\mathcal{D}g]$ que surjects en $\mathbb{C}[Y_{i}:i>N]$ a través de la evaluación en$0.$, Ya que esto último anillo de la infinita dimensión de krull también debe $\mathbb{C}[\mathcal{D}g]$ y, por tanto, la trascendencia grado de $\mathbb{C}(\mathcal{D}g)/\mathbb{C}$ es infinito. Llegamos a la conclusión de $p = 0$ y de ahí la trascendencia grado de $\mathbb{C}(\mathcal{D}f)/\mathbb{C}$ es infinito.