Generalizar una función que opera sobre funciones

Question

No he estudiado mucho más allá del Cálculo, así que mi notación y terminología pueden ser aproximadas/incorrectas. Tengo una 'función $\mathfrak F$ que utiliza otras funciones y es así: $$\mathfrak F(f,n) = D_x^nf \\ f:\Bbb R \rightarrow \Bbb R \\ n \in \Bbb Z$$ Algunos ejemplos: $$f(x) = x^2 \\ \mathfrak F(f,2) = D_x^2x^2 = 2 \\ \mathfrak F(f,-3)= D_x^{-3}x^2 = \frac{1}{60}x^5 + \frac{C_1}{2}x^2+C_2x+C_3$$ Mis preguntas son:
1. ¿Cuál es la notación adecuada para esto?
2. ¿Cómo puedo escribir esto para que $n \in \Bbb R$ o incluso $n \in \Bbb C$ ?
3. ¿Cómo puedo escribir esto para que $f$ es multivariable?
Por fin,
4. ¿Sería esta "función" diferenciable a lo largo de $n$ ( $n \in \Bbb R$ )?

Answer 1

1. Tu notación está bien, pero es incompleta en dos sentidos. En primer lugar, no has especificado un dominio y un codominio para el operador $\mathscr{F}$ . Para el dominio podemos tomar las funciones suaves $\mathcal{C}^{\infty}(X,Y)$ donde $X$ , $Y \subseteq \mathbb{R}^d$ están abiertos. Sin embargo, en caso de $n$ esto no funcionará para el codominio, ya que las constantes que introduces no especifican una función suave única. Por lo tanto, hay que hacer una elección de constantes aquí para hacer las cosas uniformes. Por ejemplo, puedes ponerlas todas a cero. En segundo lugar $\mathscr{F}(f,n) \in \mathcal{C}^{\infty}(X,Y)$ es una función. En consecuencia, debe escribirse $\big(\mathscr{F}(f,n)\big)(x)$ si se especifica con una variable $x$ a la derecha.
2. Esto se ha estudiado ampliamente bajo el lema cálculo fraccionario . Una forma de definir esas cosas es utilizar las transformaciones de Fourier, que convierten la diferenciación en operadores de multiplicación. Entonces uno sólo tiene que entender la exponenciación por números complejos, que en sí misma no es del todo inocua. Para que todas las operaciones estén bien definidas, se suele restringir a un espacio de funciones más pequeño que $\mathcal{C}^{\infty}(X,Y)$ como el Espacio Schwartz . Esto último es bueno, porque la transformada de Fourier es un isomorfismo del espacio de Schwartz. Obsérvese que ésta no es la única forma de ampliar el espacio de
3. Generalizar todo lo anterior a dimensiones superiores, es decir, a más variables, es sencillo mediante el uso de notación multiíndice . Normalmente, la contabilidad adicional resulta ser más difícil que las generalizaciones matemáticas necesarias.
4. Hablar de suavidad requiere estructuras diferenciables en el dominio y codominio de su operador. Los espacios de funciones implicados son de dimensión infinita, pero se les puede dar la estructura de un Colector Fréchet . Como se indica en la otra respuesta, debería consultar la noción de operadores diferenciales para obtener más información al respecto. Ten en cuenta que en esta fase hay bastante de geometría diferencial y de análisis funcional. Y en cuanto a tu pregunta: No lo sé, pero supongo que se podría defina un cálculo fraccionario por extensión suave de los operadores implicados después de definirlos para $n \in \mathbb{Q}$ .