Multiplicidades algebraicas y dimensión

Question

Si $f$ es diagonalizable, pero su espectro no es simple, demuestre que la dimensión del espacio vectorial de los operadores que conmutan con $f$ es igual a la suma de los cuadrados de las multiplicidades algebraicas de cada valor propio.

Answer 1

Pista: Primero demuestre que cualquier operador A que conmuta con f tiene que preservar sus eigenspaces (los eigenspaces de f son invariantes bajo A). A continuación, demuestre que cualquier operador que preserva los espacios propios de f conmuta con f. Esto le dice acerca de la forma de bloque de la matriz de A en una base propia de f, y le dice que cualquier matriz con esa forma de bloque (en la base propia elegida) conmuta con f.