¿Cómo manipulo fracciones algebraicas con una suma en el denominador?

Question

Mi profesor me ha dado unos apuntes para estudiar y no consigo seguir uno de los pasos....

Necesito encontrar la transformada inversa de laplace de $$\frac3{s(0.1s+1)}\;.$$ Las notas hacen lo siguiente:

$$L^{-1}\left[\frac3{s(0.1s+1)}\right] = L^{-1}\left[\frac1s-\frac{0.1}{0.1s+1}\right]$$

Ese es el paso que no sigo.

A continuación $3-3e^{-10t}$ . Tengo el presentimiento de que el $3$ se ha omitido en el paso anterior y se ha vuelto a aplicar a la respuesta final? Pero incluso sin tener en cuenta $3$ Todavía no comprendo del todo lo que ha hecho.

Agradecería cualquier ayuda.

Answer 1

Tienes razón sobre el $3$ en la parte derecha de la segunda línea mostrada debe leerse $$L^{-1}\left[\frac3{s(0.1s+1)}\right] = 3L^{-1}\left[\frac1s-\frac{0.1}{0.1s+1}\right]$$ o $$L^{-1}\left[\frac3{s(0.1s+1)}\right] = L^{-1}\left[\frac3s-\frac{0.3}{0.1s+1}\right]\;.$$

Para ello se utiliza simplemente la identidad algebraica $$\frac1{s(0.1s+1)} = \frac1s-\frac{0.1}{0.1s+1}\;.\tag{1}$$ Puedes comprobarlo realizando la resta en el lado derecho y verificando que obtienes la fracción en el lado izquierdo:

$$\begin{align*} \frac1s-\frac{0.1}{0.1s+1}&=\frac1s\cdot\frac{0.1s+1}{0.1s+1}-\frac{0.1}{0.1s+1}\cdot\frac{s}s\\ &=\frac{0.1s+1}{s(0.1s+1)}-\frac{0.1s}{s(0.1s+1)}\\ &=\frac{0.1s+1-0.1s}{s(0.1s+1)}\\ &=\frac1{s(0.1s+1)}\;. \end{align*}$$

El proceso de empezar con el lado izquierdo de $(1)$ y hallar el lado derecho se conoce como descomponer el lado izquierdo en fracciones parciales . Ya que has etiquetado este (algebra-precalculus) No sé si realmente se le pedirá que realice tales descomposiciones, o simplemente que pueda verificarlas. (También me sorprende un poco ver transformadas inversas de Laplace en un entorno de precálculo).

Answer 2

Se llama descomposición de fracciones parciales .

$$\rm \frac{1}{(as+b)(cs+d)}=\frac{\square}{as+b}+\frac{\triangle}{cs+d}$$

Establecimiento de restricciones en $\rm \square,\triangle$ para que lo anterior sea cierto para $\rm s$ arbitraria,

$$\rm (c\square+a\triangle)s+(d\square+b\triangle)=0s+1 \implies\quad \begin{cases} \rm c\square+a\triangle=0 \\ \rm d\square+b\triangle=1\end{cases}$$

que es un sistema lineal con solución

$$\rm \begin{pmatrix}\square \\ \triangle\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}c & \rm a \\ \rm d & \rm b\end{pmatrix}^{-1}\begin{pmatrix}0 \\ 1\end{pmatrix}=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}a \\ \rm -c\end{pmatrix}.$$

Sin embargo, hay un caso mucho más sencillo:

$$\rm \frac{1}{s(s+h)}=\frac{1}{h}\frac{h}{s(s+h)}=\frac{1}{h}\frac{(s+h)-s}{s(s+h)}=\frac{1}{h}\left(\frac{1}{s}-\frac{1}{s+h}\right).$$

Tenga en cuenta que la forma más general se puede llevar a esta forma:

$$\rm \frac{m}{(as+b)(cs+d)}=\frac{m}{ac(s+b/a)(s+d/c)}=\frac{m}{ac}\frac{1}{r(r+d/c-b/a)},$$

donde $\rm r=s+b/a$ . Así pues, tenemos

$$\rm \frac{3}{s(0.1s+1)}=\frac{30}{s(s+10)}=\frac{30}{10}\left(\frac{1}{s}-\frac{1}{s+10}\right)=\frac{3}{s}-\frac{3}{s+10}.$$

(En efecto, existe un factor de $3$ que falta en las notas, al parecer).