Prueba de que si $x_n \rightarrow \infty$ entonces $\frac{x_n}{x_n +1}$ converge

Question

Demostrar que si $x_n \rightarrow \infty$ entonces la secuencia $\frac{x_n}{x_n +1}$ converge.

Aquí está mi intento: Sabemos que $x_n \rightarrow \infty$ por lo que para cada $M$ existe un $N$ tal que para todo $k \geq N,$ $x_k \geq M$ . Escriba a $\lvert \frac{M}{M+1}\rvert < \epsilon $ para $\epsilon > 0.$ Resolviendo, obtenemos $\frac{1}{\epsilon} < M.$

¿Cómo conecto esto con $N$ ? ¿O se trata de una prueba completa, dado que he encontrado una relación entre $\epsilon$ y $M$ ?

Answer 1

Para todos $n \ge N$ ,

$$\left\lvert 1 - \frac{x_n}{1 + x_n}\right\rvert = \left\lvert \frac{1}{1 + x_n}\right\rvert = \frac{1}{1 + x_n} \le \frac{1}{1 + M} < \frac{1}{M}$$

Desde $M$ es un número positivo arbitrario, también lo es $\frac{1}{ M}$ . Así $\frac{x_n}{1 + x_n}$ converge a $1$ .

Answer 2

Pista: \begin{align} \left|\frac{x_n}{1+x_n} - \frac{x_m}{1+x_m} \right| = \left| \frac{x_n-x_m}{(1+x_n)(1+x_m)}\right|\leq \frac{2\max(|x_n|, |x_m|)}{(1+x_n)(1+x_m)}< \frac{2}{\min(|1+x_n|, |1+x_m|)} \end{align}

Answer 3

Considere el siguiente cálculo: $\frac{x_n}{x_n + 1} = \frac{x_n}{x_n} \cdot \frac{1}{1 + \frac{1}{x_n}} = \frac{1}{1 + \frac{1}{x_n}}$ . Dejar $n \to \infty$ da por lo tanto: $\lim_{n \to \infty} \frac{x_n}{x_n + 1} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{1 + \frac{1}{x_n}} = \frac{\lim_{n \to \infty} 1}{\lim_{n \to \infty} (1 + \frac{1}{x_n})} = \frac{1}{1 + 0} = \frac{1}{1} = 1$ ; La antepenúltima igualdad se debe a que $\lim_{n \to \infty} x_n = \infty$ por lo que el término recíproco $\frac{1}{x_n}$ tenderá a cero a medida que $n$ tiende a infinito.