Cómo estimar $ \left(1 + \sqrt{2} + \sqrt{3} + \dots + \sqrt{n} \right) - \frac{2}{3} n \sqrt{n}$ ?

Question

¿Cómo puedo estimar el error de la suma de los recíprocos de las raíces cuadradas? Por el cálculo sabemos que

$$ \int_0^n \sqrt{x} \, dx = \frac{2}{3} x\sqrt{x} \;\;\Bigg|_{x=0}^{x=n} = \frac{2}{3}n\sqrt{n}$$

He olvidado el nombre regla del punto medio , regla del trapecio ?? - básicamente queremos aproximar la integral como una suma de Riemann. ¿Cómo estimamos el error?

$$ \left(1 + \sqrt{2} + \sqrt{3} + \dots + \sqrt{n} \right) - \frac{2}{3} n \sqrt{n}$$

Para hacernos una idea de lo que perdemos con esta aproximación, hagamos dos dibujos.

Estamos perdiendo toda la materia gris en nuestra aproximación, ¡que es bastante! Realmente no me importa la integral, lo importante es la diferencia entre todo lo que estamos sumando y la raíz cuadrada de $n$ .

El triángulo amarillo tiene base $1$ y la altura $\sqrt{14} - \sqrt{13}$ por lo que la zona es:

$$ A = \frac{1}{2} \times b \times h = \frac{1}{2} \times 1 \times (\sqrt{\color{#E0E070}{14}} - \sqrt{\color{#E0E070}{13}}) = \frac{1}{2}(\sqrt{n+1} - \sqrt{n}) \approx \frac{1}{4 \sqrt{n}}$$

Esto sugiere que el total de todos los errores es de aproximadamente $\propto \sqrt{\color{#D22}{n}}$ que no es una cantidad pequeña. ¿Puede alguien obtener la constante de proporcionalidad?

El Euler-Maclaurin máquina sí que produce esas estimaciones de error, pero la raíz cuadrada función no es tan extraña. ¿Podemos derivar dicha estimación en este caso concreto utilizando desigualdades básicas estándar?

Answer 1

Una regla trapezoidal da una aproximación mucho mejor: $$\sum_1^n i^{1/2}\approx \frac 1 2(f(1)+f(n))+\int_1^n f(x)\,dx= \frac 1 2 +\frac 1 2 \sqrt n +\frac 2 3 n^{3/2}-\frac 2 3$$ que recupera el mayor componente del error y termina con un error limitado por una pequeña constante. Análisis de errores también puede mejorar la estimación anterior a $$\sum_1^n i^{1/2}=\frac 2 3n^{3/2}+\frac 1 2n^{1/2}-\frac 1 6-\frac 1 {24}+\frac 1{24}n^{-1/2}+E_n$$ donde los no negativos $E_n$ es pequeño ( $<5\cdot 10^{-4}$ ).

Answer 2

Utilizando el Teorema del Binomio, obtenemos $$ \begin{align} k^{3/2}-(k-1)^{3/2} &=k^{3/2}\left[1-\left(1-\frac1k\right)^{3/2}\right]\\ &=k^{3/2}\left[\frac3{2k}-\frac3{8k^2}-\frac1{16k^3}+O\left(\frac1{k^4}\right)\right]\\ &=\frac32k^{1/2}-\frac38k^{-1/2}-\frac1{16}k^{-3/2}+O\left(k^{-5/2}\right)\tag{1} \end{align} $$ y $$ \begin{align} k^{1/2}-(k-1)^{1/2} &=k^{1/2}\left[1-\left(1-\frac1k\right)^{1/2}\right]\\ &=k^{1/2}\left[\frac1{2k}+\frac1{8k^2}+O\left(\frac1{k^3}\right)\right]\\ &=\frac12k^{-1/2}+\frac18k^{-3/2}+O\left(k^{-5/2}\right)\tag{2} \end{align} $$ y $$ \begin{align} k^{-1/2}-(k-1)^{-1/2} &=k^{-1/2}\left[1-\left(1-\frac1k\right)^{-1/2}\right]\\ &=k^{-1/2}\left[-\frac1{2k}+O\left(\frac1{k^2}\right)\right]\\ &=-\frac12k^{-3/2}+O\left(k^{-5/2}\right)\tag{3} \end{align} $$ Combinando $(1)$ , $(2)$ y $(3)$ da $$ \begin{align} &\small\left(\frac23k^{3/2}+\frac12k^{1/2}+\frac1{24}k^{-1/2}\right)-\left(\frac23(k-1)^{3/2}+\frac12(k-1)^{1/2}+\frac1{24}(k-1)^{-1/2}\right)\\[6pt] &\small=k^{1/2}+O\left(k^{-5/2}\right)\tag{4} \end{align} $$ Sumando, obtenemos que $$ \sum_{k=1}^nk^{1/2}=\frac23n^{3/2}+\frac12n^{1/2}+C+\frac1{24}n^{-1/2}+O\left(n^{-3/2}\right)\tag{5} $$ donde $C=\zeta\left(-\frac12\right)=-0.207886224977354566\dots$

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Por qué $\boldsymbol{\zeta\left(-\frac12\right)}$ ?

Podemos reescribir el razonamiento dado en esta respuesta que utiliza la fórmula de la suma de Euler-Maclaurin, pero utiliza el teorema del binomio, como en el caso anterior. Sin embargo, el argumento es exactamente el mismo. Es decir, $$ \lim_{n\to\infty}\left[\sum_{k=1}^nk^{-z}-\frac1{1-z}n^{1-z}-\frac12n^{-z}\right] $$ converge uniformemente a una función analítica para $\mathrm{Re}(z)\gt-1$ . Para $\mathrm{Re}(z)\gt1$ esta función se ve fácilmente que es $\zeta(z)$ .

Por continuación analítica, obtenemos que esta función es $\zeta(z)$ para $\mathrm{Re}(z)\gt-1$ . Para esta pregunta, introduzca $z=-\frac12$ .