Cómo encontrar la solución general de la ecuación funcional $\phi(x, \nu, \sigma) = a\phi(a(x-\nu) + \nu + b, \nu + b, a\sigma)$

Question

En la sección 12.4.1 de Probability Theory: The Logic of Science de E.T. Jaynes, describe la creación de una distribución de probabilidad $p(x|v\sigma) = \phi(x, \nu, \sigma) dx$ que es invariante con la traslación del parámetro de localización $\nu$ por $b$ o reescalado del parámetro de escala $\sigma$ por $a$ .

Es decir, la siguiente ecuación funcional:

$$\phi(x,\nu,\sigma)dx = \phi(x^{'},\nu^{'},\sigma^{'})dx^{'}$$

Se mantiene bajo las transformaciones:

\begin{align} \nu^{'} & = \nu + b \\ \sigma^{'} & = a\sigma \\ x^{'} - \nu^{'} & = a(x - \nu) \end{align}

Para todos $0 < a < \infty$ y $-\infty < b < \infty$ .

Esto produce: $$ \phi(x, \nu, \sigma) = a\phi(a(x-\nu) + \nu + b, \nu + b, a\sigma) $$

Jaynes sugiere diferenciar esta ecuación funcional con respecto a a y b, y presenta la solución como:

$$\phi(x,\nu,\sigma) = \frac{1}{\sigma}h\left(\frac{x - \nu}{\sigma}\right)$$

Para una función arbitraria $h(q)$ . Comprobar que se trata de una solución es fácil, pero no he podido deducirla directamente.

Diferenciando con respecto a a y b, como sugirió Jaynes, se obtienen las siguientes EDP:

\begin{align} 0 &= \phi(x,\nu,\sigma) + (x-\nu)\frac{\partial\phi}{\partial x} + \sigma\frac{\partial\phi}{\partial\sigma} \\ 0 &= \frac{\partial\phi}{\partial x} + \frac{\partial\phi}{\partial \nu} \end{align}

Llegados a este punto, no estaba seguro de cómo proceder e intenté aplicar el método de las características, sin éxito. Sospecho que éste no es el enfoque correcto, ya que no veo cómo podría introducir la función arbitraria $h(q)$ en la solución.

Answer 1

Hacer el cambio de variables $$u=x-\nu,v = x+\nu \Leftrightarrow x = (v+u)/2, \nu = (v-u)/2, $$ con $\sigma$ el mismo (es decir, si $s=\sigma$ entonces $\partial u/\partial s = \partial \nu/\partial s = 0$ por lo que no hace falta que nos molestemos en ello).

Entonces $$0= \frac{\partial \phi}{\partial x}+\frac{\partial \phi}{\partial \nu}=\frac{\partial \phi}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial \phi}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial x}+\frac{\partial \phi}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial \nu}+\frac{\partial \phi}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial \nu}=2\frac{\partial \phi}{\partial v}, $$ de donde $$\phi = f(u,\sigma) = f(x-\nu,\sigma).$$

Ahora la primera ecuación dice $$0 = f + u\frac{\partial f}{\partial u}+\sigma\frac{\partial f}{\partial \sigma}. $$

Visite $w=u/\sigma,s=\sigma \Leftrightarrow u = ws, \sigma=s$ y que $f = g(w,s)/s$ . Entonces $$\frac{\partial f}{\partial u} = \frac{\partial }{\partial w}\left(\frac{1}{s}g\right)\frac{\partial w}{\partial u}+\frac{\partial }{\partial s}\left(\frac{1}{s}g\right)\frac{\partial s}{\partial u}=\frac{1}{s^2}\frac{\partial g}{\partial w}$$ así que $$u\frac{\partial f}{\partial u} = \frac{w}{s}\frac{\partial g}{\partial w}.$$

Además, $$\frac{\partial f}{\partial \sigma} = \frac{\partial }{\partial w}\left(\frac{1}{s}g\right)\frac{\partial w}{\partial \sigma}+\frac{\partial }{\partial s}\left(\frac{1}{s}g\right)\frac{\partial s}{\partial \sigma}=-\frac{w}{s^2}\frac{\partial g}{\partial w}-\frac{1}{s^2}g+\frac{1}{s}\frac{\partial g}{\partial s}$$

así que

$$\sigma\frac{\partial f}{\partial \sigma} = -\frac{w}{s}\frac{\partial g}{\partial w}-\frac{1}{s}g+\frac{\partial g}{\partial s}=-\frac{w}{s}\frac{\partial g}{\partial w}-f+\frac{\partial g}{\partial s}.$$

Así $$0 = f+\frac{w}{s}\frac{\partial g}{\partial w} -\frac{w}{s}\frac{\partial g}{\partial w}-f+\frac{\partial g}{\partial s}, $$ así que $$g = h(w) = h\left(\frac{x-\nu}{\sigma} \right)$$ y $$f = \frac{1}{\sigma} h\left(\frac{x-\nu}{\sigma} \right),$$ como desee.