Número esperado de tiradas - probabilidad condicional

Question

El objetivo aquí es lanzar un dado justo hasta que salga un 3 dos veces seguidas, donde el número de tiradas que esto toma (incluyendo las dos finales donde los treses son consecutivos) está dado por la variable aleatoria X. También se nos dice de la variable aleatoria Y, y este es el número de tiradas de este dado hasta que ocurra cualquier cosa que no sea un tres.

Necesitamos encontrar la media y la varianza de X, y me doy cuenta de que podemos establecer E[X]=E[E[X|Y]], y la ecuación correspondiente para la varianza. Tengo problemas para establecer E[X|Y] y E[X^2|Y], todo lo que sabemos es que E[X] es finito, pero nada más. Y en sí creo que es una variable aleatoria geométrica con parámetro 5/6, pero estoy confundido en cuanto a cómo proceder.

Answer 1

De hecho, se puede calcular toda la distribución de $X$ . Denotemos $a_n = \mathbb{P}(X = n)$ donde $n=1,2,...$ . Tenemos $a_1 = 0$ y $a_2 = 1/6^2$ .

También $X_1$ y $X_2$ son la primera y la segunda tirada del dado. Entonces, utilizando la ley de la probabilidad total, para $n>2$ tenemos

$$ a_n = \frac 56 \mathbb{P}(X = n |X_1 \neq 3) + \frac 16 \mathbb{P}(X = n |X_1 = 3) = \\ \frac 56 \mathbb{P}(X = n-1) + \frac {1}{6} \frac{5}{6} \mathbb{P}(X = n | X_1 = 3, X_2 \neq 3) + \frac {1}{6} \frac{1}{6} \mathbb{P}(X = n | X_1 = 3, X_2 = 3) = \\ \frac 56 a_{n-1} + \frac{5}{6^2} a_{n-2} + \frac{1}{6^2} \chi_{n=2}. $$ La idea es que si se pierden 3 en el primer paso y hay que esperar a que exactamente $n$ pasos a seguir $3,3$ entonces ahora está esperando $3,3$ en exactamente $n-1$ pasos .

Así pues, tenemos $$ a_1 = 0, a_2 = \frac{1}{6^2}, \ \ a_n = \frac 56 a_{n-1} + \frac{5}{6^2} a_{n-2}, \text{ for } n >2. $$ A partir de este $$ \mathbb{E} X = \sum_{1}^\infty n a_n = \frac{2}{6^2} + \sum_{3}^\infty n a_n = \frac{2}{6^2} + \frac{5}{6}\sum_{2}^\infty (n+1)a_n + \frac{5}{6^2} \sum_{1}^\infty ( n + 2 ) a_n = \\ \frac{2}{6^2} + \frac 56 + \frac{10}{6^2} + \frac 56 \mathbb{E}X + \frac{5}{6^2} \mathbb{E} X, $$ donde utilizamos el hecho de que $\sum a_n = 1$ . Por lo tanto, $$ \mathbb{E} X = 42. $$

También puede calcular fácilmente la varianza, utilizando la relación de recurrencia para $a_n$ y jugando con la suma correspondiente.