Cálculo de la media, mediana y moda de una variable aleatoria continua

Question

Dada una variable aleatoria continua $x$ con una FCD de $x^3$ para $0\le x\le 1$ (y $0$ para $x \lt 0$ y $1$ para $x \gt 1$ clasifica la mediana, la moda y la media.

Mi intento: Para encontrar la media, primero encontré que el PDF era $3x^2$ . Entonces tomé $\int_0^1 x(3x^2) \,dx = \frac{3}{4}$

Para la mediana, establezco la FDA de $x^3$ igual a $\frac{1}{2}$ que es $\left(\frac{1}{2}\right)^\frac{1}{3}$

Por último, para el modo, creo que sería el valor más alto de la PDF de $3x^2$ en el intervalo de $0 \le x \le 1$ , que debería ser $1$ pero no estoy seguro de que este razonamiento sea correcto.

Me cuesta entender el concepto de moda para variables aleatorias continuas ya que la probabilidad de cualquier punto individual es $0$ . No estoy seguro de si mi razonamiento, que en su mayor parte proviene de variables discretas, es aplicable.

Answer 1

Una moda representa la misma cantidad en distribuciones continuas y en distribuciones discretas: Elemento del dominio de una variable aleatoria en el que se maximiza la fdp. Por supuesto, en el caso de las distribuciones continuas, hay que cambiar un poco el final para que sea algo así como "en el que la función de probabilidad se maximiza localmente", pero se trata del mismo principio. En otras palabras, tu razonamiento es válido.

En este caso, nuestro dominio es el intervalo cerrado $[0,1]$ por lo que el pdf $3x^{2}$ toma un valor máximo en un punto crítico o en los puntos extremos $0,1$ . El único punto crítico es $0,$ y $3x^{2}_{x=0} = 0$ . Desde $3x^{2}>0$ en $x=1$ su respuesta es correcta: El modo es $1$ .

En cuanto a cómo interpretar el significado detrás de un modo de variable aleatoria de valor real, yo no lo analizaría demasiado todavía. ;) La extraña y aparentemente paradójica idea de que una variable aleatoria de valor real tenga probabilidad cero en cualquier punto aislado puede resolverse.

Pero hace falta algo de análisis y topología para sentirse realmente cómodo con esa idea. Después de algunas de esas clases, puedes mirar atrás alegremente e interpretar la idea de forma más clara e intuitiva.