¿Integral divergente?

Question

¿Por qué $$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{2x}{1+x^2}dx$$

divergente, cuando la función que se describe es claramente una función impar y $$\int_{-a}^{a} \frac{2x}{1+x^2}dx = 0$$ para cualquier a finito?

Answer 1

Su valor del principio de Cauchy es efectivamente $0$ : $$\lim_{\ell\to\infty}\int_{-\ell}^\ell\frac{2x}{1+x^2}dx=0,$$ ya que el integrando es impar y por tanto la integral es cero para todos los valores de $L$ como usted ha señalado. Sin embargo, si uno de los límites de la integración va al infinito más rápido que el otro, la integral puede no ser finita. Por ejemplo: $$\lim_{\ell\to\infty}\int_{-\ell}^{\exp\ell}\frac{2x}{1+x^2}dx=\lim_{\ell\to\infty}\log(\exp2\ell+1)-\log(\ell^2+1),$$ que no existe. Dado que la convergencia de la integral depende de la velocidad a la que sus límites van al infinito, decimos que la integral diverge. Contrasta esto con la siguiente integral: $$\int_{-\infty}^\infty\frac{dx}{1+x^2}$$ Sea $f$ y $g$ sean funciones que se aproximen a $\infty$ como $x\to\infty$ . Entonces: $$\lim_{x\to\infty}\int_{-g(x)}^{f(x)}\frac{dt}{1+t^2}=\lim_{x\to\infty}\tan^{-1}\big(f(x)\big)-\tan^{-1}\big(-g(x)\big)=\pi/2+\pi/2=\pi$$ para cualquier $f$ y $g$ (probablemente bajo el supuesto de que son lo suficientemente amables).